Отклонения и допуски расположения поверхностей. Параллельные плоскости Определение параллельности двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Введем понятие параллельных плоскостей

Согласно аксиоме A3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Отсюда следует, что плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точку.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскости параллельны, пишут: .

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим две плоскости: .

В плоскости лежат пересекающиеся прямые a1 и b1, а в плоскости параллельные им пересекающиеся прямые a2и b2.

Докажем, что.

Доказательство. Рассуждаем методом от противного.

Предположим, что плоскости не параллельны. Тогда существует прямая c, по некоторой они пересекаются.

Так как прямая a1 параллельна прямой a2 , лежащей в плоскости, то прямая a1 параллельна плоскости.

Аналогично, прямая b1 параллельна плоскоcти.

Теперь можно воспользоваться свойством прямой, параллельной плоскости.

Так как плоскость проходит через прямую a1, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей c будет параллельна прямой a1, т.е.

Но плоскость проходит и через прямую b1, параллельную плоскости, поэтому.

Таким образом, через точку O1 проходят две прямые a1 и b1 , параллельные прямой c.

Но это невозможно, через O1 может проходить только одна прямая, параллельная с.

Предположив, что мы пришли к противоречию. Следовательно, .

Теорема доказана.

Задача 1. Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.

Отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости

O - общая середина отрезков

Доказать: Плоскость A1B1C1 плоскости A2B2C2

В плоскости A1B1C1возьмем пересекающиеся отрезки A1B1 и A1C1 , а в плоскости A2B2C2 - отрезки A2B2 и A2C2. Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим четырехугольник A1B1A2B2.

Так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Поэтому A1B1 A2B2

Аналогично из четырехугольника A1C1A2C2 получим, что A1C1 A2C2.

По признаку параллельности плоскостей,

Всем, кто когда-либо учился или сейчас учится в школе, приходилось сталкиваться с различными трудностями при изучении дисциплин, которые включены в программу, разработанную Министерством образования.

С какими трудностями приходится сталкиваться

Изучение языков сопровождается зазубриванием имеющихся грамматических правил и основных исключений из них. Физкультура требует от учеников большой выкладки, хорошей физической формы и огромного терпения.

Однако ни с чем нельзя сравнить те сложности, которые возникают при изучении точных дисциплин. Алгебра, содержащая в себе запутанные способы решения элементарных задач. Физика с богатым набором формул физических законов. Геометрия и ее разделы, в основе которых лежат сложные теоремы и аксиомы.

Примером могут служить аксиомы, объясняющие теорию параллельности плоскостей, которые необходимо обязательно запомнить, так как они лежат в основе всего курса школьной программы по стереометрии. Давайте попробуем разобраться, как проще и быстрее это можно сделать.

Параллельные плоскости на примерах

Аксиома, указывающая на параллельность плоскостей, звучит следующим образом: «Любые две плоскости считаются параллельными только в том случае, если они не содержат общих точек », то есть не пересекаются друг с другом. Чтобы более детально представить себе данную картину, в качестве элементарного примера можно привести отношение потолка и пола или противоположных стен в здании. Становится сразу понятно, что имеется в виду, а также подтверждается тот факт, что эти плоскости в обычном случае никогда не пересекутся.

Другим примером может служить оконный стеклопакет, где в качестве плоскостей выступают полотна стекол. Они также ни при каких условиях не будут образовывать точек пересечения между собой. Дополнительно к этому можно добавить книжные полки, кубик Рубика, где плоскостями являются его противоположные грани, и прочие элементы быта.

Обозначаются рассматриваемые плоскости специальным знаком в виде двух прямых «||», которые наглядно иллюстрируют параллельность плоскостей. Таким образом, применяя реальные примеры, можно сформировать более четкое восприятие темы, а, следовательно, можно переходить далее к рассмотрению более сложных понятий.

Где и как применяется теория параллельных плоскостей

При изучении школьного курса геометрии ученикам приходится сталкиваться с разносторонними задачами, где зачастую необходимо определить параллельность прямых, прямой и плоскости между собой или зависимость плоскостей друг от друга. Анализируя имеющееся условие, каждую задачу можно соотнести к четырем основным классам стереометрии.

К первому классу относят задачи, в условии которых необходимо определить параллельность прямой и плоскостимежду собой. Ее решение сводится к доказательству одноименной теоремы. Для этого нужно определить, имеется ли для прямой, не принадлежащей рассматриваемой плоскости, параллельная прямая, лежащая в этой плоскости.

Ко второму классу задач относятся те, в которых задействуют признак параллельности плоскостей. Его применяют для того, чтобы упростить процесс доказательства, тем самым значительно сокращая время на поиск решения.

Следующий класс охватывает спектр задач о соответствии прямых основным свойствам параллельности плоскостей. Решение задач четвертого класса заключается в определении, выполняется ли условие параллельности плоскостей. Зная, как именно происходит доказательство той или иной задачи, ученикам становится проще ориентироваться при применении имеющегося арсенала геометрических аксиом.

Таким образом, задачи, условие которых требует определить и доказать параллельность прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей между собой, сводятся к правильному подбору теоремы и решению согласно имеющемуся набору правил.

О параллельности прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости - особая тема в стереометрии, так как именно она является базовым понятием, на которое опираются все последующие свойства параллельности геометрических фигур.

Согласно имеющимся аксиомам, в случае когда две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, можно сделать вывод, что данная прямая также лежит в ней. В сложившейся ситуации становится ясно, что возможны три варианта расположения прямой относительно плоскости в пространстве:

1. Прямая принадлежит плоскости.
2. Для прямой и плоскости имеется одна общая точка пересечения.
3. Для прямой и плоскости точки пересечения отсутствуют.

Нас, в частности, интересует последний вариант, когда отсутствуют какие-либо точки пересечения. Только тогда можно говорить о том, что прямая и плоскость относительно друг друга являются параллельными. Таким образом, подтверждается условие основной теоремы о признаке параллельности прямой и плоскости, которая гласит, что: «Если прямая, не принадлежащая рассматриваемой плоскости, параллельна любой прямой на этой плоскости, то рассматриваемая прямая также является параллельной данной плоскости».

Необходимость использования признака параллельности

Признак параллельности плоскостей, как правило, используется для поиска упрощенного решения задач о плоскостях. Суть данного признака состоит в следующем: «Если имеются две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельные двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости можно назвать параллельными ».

Дополнительные теоремы

Помимо использования признака, доказывающего параллельность плоскостей, на практике можно встретиться с применением двух других дополнительных теорем. Первая представлена в следующей форме: «Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей, то и вторая плоскость либо тоже параллельна третьей, либо полностью совпадает с ней ».

Базируясь на использовании приводимых теорем, всегда можно доказать параллельность плоскостей относительно рассматриваемого пространства. Вторая теорема отображает зависимость плоскостей от перпендикулярной прямой и имеет вид: «Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны по отношению к некоторой прямой, то они считаются параллельными друг другу ».

Понятие необходимого и достаточного условия

При неоднократном решении задач доказательства параллельности плоскостей было выведено необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. Известно, что любая плоскость задается параметрическим уравнением вида: А 1 х+ В 1 у+ C 1 z+D 1 =0. Наше условие базируется на использовании системы уравнений, задающих расположение плоскостей в пространстве, и представлено следующей формулировкой: «Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, описывающих эти плоскости, была несовместной, то есть не имела решения ».

Основные свойства

Однако при решении геометрических задач использования признака параллельности не всегда бывает достаточно. Иногда возникает ситуация, когда необходимо доказать параллельность двух и более прямых в различных плоскостях или равенство отрезков, заключенных на этих прямых. Для этого применяют свойства параллельности плоскостей. В геометрии их насчитывается всего два.

Первое свойство позволяет судить о параллельности прямых в определенных плоскостях и представлено в следующем виде: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, образованные линиями пересечения, будут также параллельны друг другу ».

Смысл второго свойства состоит в том, чтобы доказать равенство отрезков, расположенных на параллельных прямых. Его трактовка представлена ниже. «Если рассматривать две параллельные плоскости и заключить между ними область, то можно утверждать, что длина образованных этой областью отрезков будет одинакова ».

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства и признаки

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Аналитическое определение

параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

Есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения.

Пример 1

Плоскости и параллельны, так как

Пример 2

Плоскости и непараллельны так как , а
Замечание . Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Параллельность плоскостей" в других словарях:

Отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства … Википедия

1) равное отстояние: такое положение линий или плоскостей, при котором они отстоят во всех точках одинако одна от другой. 2) сходство, напр. некоторых отдельных мест в Св. Писании. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… …

Параллельность осей вращения шпинделей - 2.6. Параллельность осей вращения шпинделей Допуск на расстоянии L = 150 мм 25 мкм. Параллельность осей вращения шпинделей рассчитывают по результатам измерения перпендикулярности (параллельности) шпинделей относительно измерительной базы по пп.… …

Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 3.3.4. Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 44 Допуск, мкм, для станков с конусом шпинделя Морзе до 5 на длине L = 150 мм для головок классов точности: П … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 1.15. Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 17 Допуск, мкм, на длине перемещения L = 150 мм для станков классов точности: П........................................ 12 В … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 26016-83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 26016 83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности оригинал документа: 1.8. Взаимная перпендикулярность продольного перемещения вертикального стола направлению перемещения шпиндельной бабки Черт. 9… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

ГОСТ 2110-93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности - Терминология ГОСТ 2110 93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности оригинал документа: 4.18 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 30027-93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно-фрезерно-расточные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 30027 93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно фрезерно расточные. Нормы точности оригинал документа: 4.10 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

1) сравнительное сопоставление каких либо предметов или вопросов; 2) то же, что параллельность, см. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ПАРАЛЛЕЛИЗМ Сравнит, сопоставление каких… … Словарь иностранных слов русского языка

Книги

• Математика. 10-11 классы. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Учебник. ФГОС , Бутузов Валентин Федорович , Прасолов Виктор Васильевич , Линия УМК`Бутузов В. Ф. (10-11 классы)`Учебник написан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и предназначен как для базового,… Категория: Учебники для школьников Серия: МГУ - школе Издатель: Просвещение , Производитель: