Эффект магнуса и его невероятные применения. Циклоны и антициклоны Эффект магнуса объясняется на основе

Игрокам в гольф и теннис известно стремление вращающегося мяча уклониться от своей нормальной траектории в направлении, в котором вращается его передняя часть. Это явление называется эффектом Магнуса. Согласно Рэлею (, т. I, 343-346), эффект Магнуса обычно объясняют качественно следующим образом.

Локальная скорость воздуха относительно мяча из-за его вращения больше с той стороны, где вращение направлено назад, чем там, где оно направлено вперед (см. рис. 3). Следовательно, по уравнению Бернулли (3), давление с одной стороны

меньше, и это дает равнодействующую в направлении, соответствующем наблюдаемому.

На основании данного объяснения очень трудно получить количественный результат, так как у нас нет какого-либо определенного способа для того, чтобы связать вращение с циркуляцией - даже в случае цилиндра. Прандтль предпринял героическую попытку определить хотя бы максимум подъемной силы который, как он утверждал, достигается тогда, когда значение циркуляции определяется при условии, что имеется одна-единственная критическая точка.

Основываясь на этом, он нашел, что максимум коэффициента равен

Рис. 3. Эффект Магнуса.

Недавно это значение было превышено - еще один факт, показывающий ненадежность нестрогих рассуждений.

Несостоятельность существующих объяснений эффекта Магнуса еще более ярко показывает следующий парадокс эффекта Магнуса.

Парадокс эффекта Магнуса. При малых скоростях вращения направление отклонения в действительности противоположно тому, которое дает объяснение Рэлея (и которое наблюдалось Магнусом) 4).

Для того чтобы объяснить этот парадокс эффекта Магнуса, нужно, по-видимому, учесть турбулентность пограничного

слояявление, которое до сих пор не поддается математическому исследованию как краевая задача. Таким образом, при любом корректном истолковании реальной поперечной силы при малых скоростях вращения надлежит учитывать число Рейнольдса.

Явление «деривации» аналогично эффекту Магнуса. Артиллеристам уже более ста лет известно, что вращающиеся снаряды имеют тенденцию отклоняться от вертикальной плоскости, в которой производится стрельба, и что такое отклонение происходит в направлении вращения головки снаряда. Однако это явление в течение многих лет понималось неправильно.

Одно неверное объяснение было предложено известным математиком - Пуассоном. Он считал, что вследствие инерции ось снаряда отстает от направления касательной к траектории, как схематически показано на рис. 4, а.

Рис. 4. Объяснение эффекта Магнуса, по Пуассону.

Следовательно, на нижней стороне должно создаться большее давление, а значит и большее трение. В соответствии с рис. 4, б это должно привести к отклонению в наблюдаемом направлении. Ошибочность объяснения Пуассона становится очевидной, если применить его к вращению теннисного мяча: получилось бы направление отклонения, противоположное обычному эффекту Магнуса!

Правильное объяснение заключается в следующем. С помощью количественного исследования гироскопической устойчивости можно установить, что устойчивое положение оси снаряда (с правой винтовой нарезкой) находится справа от касательной к траектории, а не выше ее, как это утверждал Пуассон. Таким образом, деривация снаряда вызывгется главным образом

Странные изменения траектории мяча для обывателя кажутся чудом. Но для профессиональных футболистов, баскетболистов, бильярдистов такие трюки - показатель мастерства. И вот тут-то мы и вспоминаем о законах физики, которая подкидывает такие подарки, как эффект Магнуса. Изначально замеченный в аэродинамике, сегодня этот закон изменения траектории шарообразного предмета нашел очень широкое применение. Совсем недавно в интернете появился ролик, наглядно на примере баскетбольного мяча продемонстрировавший этот физический феномен. Ролик собрал более 9 миллионов просмотров за два дня и подогрел интерес к эффекту Магнуса и его невероятным применениям.

История вопроса

А началось все с того, что прусские канониры никак не могли понять, почему ядра из их пушек постоянно попадают не туда, куда следовало. Вращение ядра в полете с его центром тяжести, не совпадающим с геометрическим, искривляло траекторию полета. Об аэродинамической силе, влияющей на полет вращающегося шара писал еще Исаак Ньютон, а прусские командиры обратились за разъяснением криволинейных траекторий полета ядра к известному немецкому ученому Генриху Густаву Магнусу (1802-1870), который в 1853 дал научное объяснение этому феномену.

Ученый предположил, что дело вовсе не в центре тяжести объекта, а в его вращении. Он провел серию опытов, и хотя не сделал никаких математических расчетов, ему принадлежит первенство доказательства аэродинамической силы, меняющей траекторию полета вращающегося тела.

После Магнуса этой силой заинтересовался Людвиг Прандтль (1875-1953), который замерял силу и скорость. Самое главное его достижение - это установление возможности использования возникающей силы на вращающемся роторе (цилиндре) для обеспечения поступательного движения. Но на практике эту идею реализовал уже другой немец - инженер Антон Флеттнер (1885-1961). О роторных парусах Флеттнера и Кусто чуть позже.

Объяснение не для физиков

Учитывая законы ньютоновской физики твердых тел, простыми словами процесс выглядит следующим образом. Закрученный круглый объект набирает скорость, воздух впереди объекта движется в направлении его вращения и тянется вдоль и к центру. На другой стороне объекта воздух совершает движение в обратном направлении по отношению к направлению вращения. В результате поток отодвигается и объект вытесняет воздух с одной стороны, а воздух с другой стороны образует ответную силу, но в другом направлении, что и меняет траекторию полета объекта. Схема процесса отображена на рисунке выше, это и есть пресловутый эффект Магнуса.

Ветряной корабль Флеттнера

Немецкий патент на роторное судно Антон Флеттнер получил 16 сентября 1922 года. А уже в октябре 1926 года настоящий фурор в Кильской бухте произвело необычное судно с двумя большими трубами на борту и ажурной мачтой. Это было первое роторное судно Buckau, сошедшее со стапелей судостроительной компании Friedrich Krupp.

Флеттнер использовал эффект Магнуса и силу, образующуюся при обтекании вращающихся цилиндров и направленную перпендикулярно направлению потока. Со стороны, где направление вихревого потока, созданного вращающимся телом, совпадает с направлением потока воздуха, сила и скорость движения резко возрастают. Именно такими роторами, которые позже назовут его именем, и заменил паруса молодой инженер Флеттнер.

Роторы этого судна вращались от электрических двигателей. Там, где ротор вращался навстречу ветру, создавалась область с повышенным давлением. С противоположной стороны - с пониженным. Результирующая сила двигала судно.

Buckau с честью прошел испытание. В 1925 году он вышел из Данцига в Шотландию при погодных условиях, когда парусные суда не отваживались выходить в море. Поход был успешным, и при этом команда корабля сократилась до 10 человек, против 20 на паруснике.

Вынужденное забвение

Перед роторами Флеттнера открывалось прекрасное будущее. Успешность проекта подтвердило судно гамбургской компании «Барбара». Это был грузовой лайнер, движение которого обеспечивали три 17-метровых ротора, задающих скорость в 13 узлов при ветре в 4-6 баллов.

Несмотря на видимую успешность проекта, о нем надолго забыли. И причин тому несколько. Сам Флеттнер потерял интерес к судоходству и заинтересовался авиацией, наступили времена Великой депрессии 1920-х годов.

Реанимация кораблей с роторными установками

Продолжением роторного судна Флеттнера стад турбопарус Жака-Ива Кусто. Известный исследователь и борец за экологически чистые средства передвижения в апреле 1885 года спустил на воду судно «Алкиона», оборудованное запатентованными турбопарусами, в работе которых нашел применение эффект Магнуса. Это судно и сегодня на ходу.

К сожалению, последователи Кусто не очень заинтересовались роторными установками на судах, и интерес к ним снова угас. О них вспомнили с наступлением нефтяного кризиса, и в 2010 году на воду вышло третье судно с роторными установками. Это тяжелое 130-метровое судно E-Ship 1 компании Enercon с четырьмя роторами Флеттнера. Сегодня занимается перевозками ветрогенераторов их Германии в страны Европы, может выдерживать до 9 тонн грузов и развивает скорость в 17 узлов. Экипаж - всего 15 человек.

Роторными установками заинтересовались корабельные компании Wind Again (Сингапур), Wartsila (Финляндия) и некоторые другие. Похоже, что дефицит нефти и тревожное потепление климата сыграют свою роль в возвращении ветряных движителей на современные корабли.

Применение в авиастроении

Применение эффекта Магнуса в авиации реализовывалось в разных конструктивных решениях. В самых простых формах использовались валообразные крылья, вращающиеся во время полета. Среди основателей этого направления был австрийский изобретатель Карл Глигорин, который предлагал установить на роторе обтекатель, повторяющий форму крыла. В Амстердаме над подобными проектами работал Э.Б. Вольф, американцы Джон Д. Герст и К. Поппер в 1932 году даже провели испытания своего самолета с валообразными крыльями.

Работоспособной оказалась модель North American-Rockwell YOU-10A Bronco, переоборудованная вращающимися валами в 1964 году. Это был проект профессора из Перу Альберто Альварес-Кальдерона. Однако у прототипа было больше недостатков, чем достоинств.

Несмотря на усилия, эффект Магнуса в авиации не прижился. Практическое использование крыльев роторного типа связано с целым рядом проблем и пока не оправдывает себя экономически.

Эффект Магнуса и ветрогенераторы

Развитие индустрии альтернативных источников энергии особенно актуально в наше время. И в этой отрасли нашлось применение эффекту Магнуса. На смену лопастным ветрогенераторам приходят роторные установки, которые наиболее эффективны при частых и низких скоростях ветра в 2-6 м/с. Имеют в своей основе ось, вокруг которой вращаются цилиндры. Первая такая установка производства фирмы «Аэролла» появилась вблизи Минска (Беларусь) в 2015 году. Мощность ее составляла 100 кВт, диаметр турбинного ротора 36 метров. Работает при расчетной скорости ветра в 9,5 м/с.

Работы в данном направлении продолжаются в Новосибирском институте прикладной механики СО РАН, и уже есть прототипы ветрогенераторов, которые используют эффект Магнуса с мощностью до 2 МВт.

Не совсем привычное применение

Этот эффект смены траектории движения мяча широко используется в спорте: удары топ-спин и «сухой лист» в футболе, система Hop Up в страйкболе.

Эффект Магнуса сегодня широко используется в проектировании моделей самолетов. Например, самолет из картона, электрического двигателя и бумажных стаканчиков для фаст-фуда был сконструирован каналом PeterSripol.

Эффект Магнуса используется при производстве воздушных змеев. Например, змей в виде вертушки конструктора Д.Эдвардса или С. Альбертсона.

А вот для «охотников за ураганами» это физическое явление может стать очень опасным. Если днище между машиной и землей недостаточно хорошо перекрыто, то через зазор ураганный ветер может создать огромную подъемную силу, которая без труда поднимет автомобиль в воздух.

Направлению потока. Это является результатом совместного воздействия таких физических явлений, как эффект Бернулли и образования пограничного слоя в среде вокруг обтекаемого объекта.

Вращающийся объект создаёт в среде вокруг себя вихревое движение. С одной стороны объекта направление вихря совпадает с направлением обтекающего потока и, соответственно, скорость движения среды с этой стороны увеличивается. С другой стороны объекта направление вихря противоположно направлению движения потока, и скорость движения среды уменьшается. Ввиду этой разности скоростей возникает разность давлений, порождающая поперечную силу от той стороны вращающегося тела, на которой направление вращения и направление потока противоположны, к той стороне, на которой эти направления совпадают. Такое явление часто применяется в спорте, см., например, специальные удары: топ-спин , сухой лист в футболе или система Hop-Up в страйкболе .

Эффект впервые описан немецким физиком Генрихом Магнусом в 1853 году .

Формула для расчёта силы

Идеальная жидкость

Даже если жидкость не обладает внутренним трением (вязкостью), можно рассчитать эффект подъёмной силы.

Пусть шар находится в потоке набегающей на него идеальной жидкости. Скорость потока на бесконечности (вблизи она, конечно, искажается) u → ∞ {\displaystyle {\vec {u}}_{\infty }} . Чтобы сымитировать вращение шара, введём циркуляцию скорости Γ {\displaystyle \Gamma } вокруг него. Исходя из закона Бернулли , можно получить, что полная сила, действующая в таком случае на шар, равна:

Видно, что:

1. полная сила перпендикулярна потоку, то есть сила сопротивления потока идеальной жидкости на шар равна нулю (парадокс Даламбера)
2. сила, в зависимости от соотношения направлений циркуляции и скорости потока, сводится к подъёмной или опускающей силе.

Вязкая жидкость

Следующее уравнение описывает необходимые величины для подсчёта подъёмной силы, создаваемой вращением шара в реальной жидкости.

Коэффициент подъёмной силы может быть определён из графиков экспериментальных данных с использованием числа Рейнольдса и коэффициента вращения ((угловая скорость*диаметр)/(2*линейная скорость)). Для коэффициентов вращения от 0,5 до 4,5 коэффициент подъёмной силы находится в диапазоне от 0,2 до 0,6.

П. МАНТАШЬЯН.

Продолжаем публиковать журнальный вариант статьи П. Н. Манташьяна «Вихри: от молекулы до Галактики» (см. «Наука и жизнь № ). речь пойдёт о смерчах и торнадо - природных образованиях огромной разрушительной силы, механизм возникновения которых до сих пор не вполне понятен.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рисунок из книги американского физика Бенжамина Франклина, поясняющий механизм возникновения смерчей.

Марсоход Spirit обнаружил, что в разреженной атмосфере Марса возникают смерчи, и заснял их. Снимок с сайта НАСА.

Гигантские смерчи и торнадо, возникающие на равнинах юга США и Китая, - явление грозное и очень опасное.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Смерч может достигать километра в высоту, упираясь вершиной в грозовое облако.

Смерч на море поднимает и втягивает в себя десятки тонн воды вместе с морской живностью и может разломать и потопить небольшое судно. В эпоху парусных кораблей смерч пытались разрушить, стреляя по нему из пушек.

На снимке хорошо видно, что смерч вращается, закручивая спиралью воздух, пыль и дождевую воду.

Город Канзас-сити, превращённый в руины мощным торнадо.

Силы, действующие на тайфун в потоке пассатного ветра.

Закон Ампера.

Силы Кориолиса на проигрывателе.

Эффект Магнуса на столе и в воздухе.

Вихревое движение воздуха наблюдается не только у тайфунов. Существуют вихри размерами, превышающими тайфун, - это циклоны и антициклоны, самые большие воздушные вихри на планете. Их размеры значительно превосходят размеры тайфунов и могут достигать более тысячи километров в диаметре. В некотором смысле это вихри-антиподы: у них практически всё наоборот. Циклоны Северного и Южного полушарий вращаются в ту же сторону, что и тайфуны этих полушарий, а антициклоны - в противоположную. Циклон приносит с собой ненастную погоду, сопровождаемую осадками, антициклон же, наоборот, приносит ясную, солнечную погоду. Схема образования циклона достаточно проста - всё начинается с взаимодействия холодного и тёплого атмосферных фронтов. При этом часть тёплого атмосферного фронта проникает внутрь холодного в виде своеобразного атмосферного «языка», в результате чего тёплый воздух, более лёгкий, начинает подниматься, и при этом происходят два процесса. Во-первых, молекулы паров воды под воздействием магнитного поля Земли начинают вращаться и вовлекают во вращательное движение весь поднимающийся воздух, образуя гигантский воздушный водоворот (см. «Наука и жизнь» № ). Во-вторых, наверху тёплый воздух охлаждается, и пары воды в нём конденсируются в облака, которые выпадают осадками в виде дождя, града или снега. Такой циклон может испортить погоду на срок от нескольких дней до двух-трёх недель. Его «жизнедеятельность» поддерживается за счёт поступления новых порций влажного тёплого воздуха и взаимодействия его с холодным воздушным фронтом.

Антициклоны связаны с опусканием воздушных масс, которые при этом адиабатически, то есть без теплообмена с окружающей средой, нагреваются, их относительная влажность падает, что и приводит к испарению имеющихся облаков. При этом за счёт взаимодействия молекул воды с магнитным полем Земли происходит антициклоническое вращение воздуха: в Северном полушарии - по часовой стрелке, в Южном - против. Антициклоны приносят с собой устойчивую погоду на период от нескольких дней до двух-трёх недель.

Видимо, механизмы образования циклонов, антициклонов и тайфунов идентичны, а удельная энергоёмкость (энергия единицы массы) тайфунов намного больше, чем циклонов и антициклонов, только за счёт более высокой температуры воздушных масс, нагретых солнечным излучением.

СМЕРЧИ

Из всех вихрей, образующихся в природе, наиболее загадочны смерчи, по сути дела, часть грозового облака. Сначала, на первой стадии возникновения смерча, вращение видно только в нижней части грозового облака. Затем часть этого облака отвисает книзу в виде гигантской воронки, которая всё более удлиняется и наконец достигает поверхности земли или воды. Возникает как бы гигантский хобот, свешивающийся из облака, который состоит из внутренней полости и стенок. Высота смерча составляет от сотен метров до километра и, как правило, равна расстоянию от нижней части облака до поверхности земли. Характерная особенность внутренней полости - пониженное давление находящегося в ней воздуха. Такая особенность смерча приводит к тому, что полость смерча служит своеобразным насосом, который может втянуть в себя огромное количество воды из моря или озера, причём вместе с животными и растениями, перенести их на значительные расстояния и низвергнуть вниз вместе с дождём. Смерч способен переносить и довольно большие грузы - автомобили, телеги, малотоннажные суда, небольшие здания, причём иногда даже с находящимися в них людьми. Смерч обладает гигантской разрушительной силой. При соприкосновении со строениями, мостами, линиями электропередач и другими объектами инфраструктуры он причиняет им огромные разрушения.

Смерчи имеют максимальную удельную энергоёмкость, которая пропорциональна квадрату скорости воздушных потоков вихря. По метеорологической классификации при скорости ветра в замкнутом вихре, не превышающей 17 м/с, он называется тропической депрессией, если же скорость ветра не превышает 33 м/с, то это тропический шторм, и если скорость ветра составляет от 34 м/с и выше, то это уже тайфун. В мощных тайфунах скорость ветра может превышать 60 м/с. В смерче же, по данным разных авторов, скорость воздуха может достигать от 100 до 200 м/с (некоторые авторы указывают на сверхзвуковую скорость воздуха в смерче - свыше 340 м/с). Прямые измерения скорости воздушных потоков в смерчах при настоящем уровне развития техники практически невозможны. Все приборы, предназначенные для фиксации параметров смерча, безжалостно им ломаются при первом же соприкосновении. О скорости потоков в смерчах судят по косвенным признакам, главным образом по тем разрушениям, которые они производят, или по весу грузов, которые они переносят. Кроме того, отличительная черта классического смерча - наличие развитого грозового облака, своеобразного электрического аккумулятора, повышающего удельную энергоёмкость смерча. Чтобы разобраться в механизме возникновения и развития смерча, рассмотрим сначала устройство грозового облака.

ГРОЗОВОЕ ОБЛАКО

В типичном грозовом облаке вершина заряжена положительно, а основание несёт отрицательный заряд. То есть в воздухе поддерживаемый восходящими потоками парит гигантский электрический конденсатор многокилометровых размеров. Наличие такого конденсатора приводит к тому, что на поверхности земли или воды, над которыми находится облако, появляется его электрический след - наведённый электрический заряд, имеющий знак, противоположный знаку заряда основания облака, то есть земная поверхность будет заряжена положительно.

Кстати, опыт по созданию наведённого электрического заряда можно провести дома. Насыпьте на поверхность стола мелкие бумажки, расчешите пластмассовой расчёской сухие волосы и приблизьте расчёску к насыпанным бумажкам. Все они, оторвавшись от стола, устремятся к расчёске и прилипнут к ней. Результат этого несложного опыта объясняется очень просто. Расчёска получила электрический заряд в результате трения о волосы, а на бумажке он наводит заряд противоположного знака, который притягивает бумажки к расчёске в полном соответствии с законом Кулона.

Возле основания развитого грозового облака существует мощный восходящий поток воздуха, насыщенного влагой. Кроме дипольных молекул воды, которые в магнитном поле Земли начинают вращаться, передавая импульс нейтральным молекулам воздуха, вовлекая их во вращение, в восходящем потоке имеются положительные ионы и свободные электроны. Они могут образовываться в результате воздействия на молекулы солнечного излучения, естественного радиоактивного фона местности и, в случае грозового облака, за счёт энергии электрического поля между основанием грозового облака и землёй (вспомним о наведённом электрическом заряде!). Кстати, за счёт наведённого положительного заряда на поверхности земли число положительных ионов в потоке восходящего воздуха значительно превышает число ионов отрицательных. Все эти заряженные частицы под действием восходящего потока воздуха устремляются к основанию грозового облака. Однако вертикальные скорости положительных и отрицательных частиц в электрическом поле различны. Напряжённость поля можно оценить по разности потенциалов между основанием облака и поверхностью земли - по измерениям исследователей, она составляет несколько десятков миллионов вольт, что при высоте основания грозового облака в один - два километра даёт напряжённость электрического поля в десятки тысяч вольт на метр. Это поле будет ускорять положительные ионы и тормозить отрицательные ионы и электроны. Поэтому в единицу времени через поперечное сечение восходящего потока положительных зарядов пройдёт больше, чем отрицательных. Иными словами, между земной поверхностью и основанием облака возникнет электрический ток, хотя правильней было бы говорить об огромном количестве элементарных токов, соединяющих земную поверхность с основанием облака. Все эти токи параллельны и текут в одном направлении.

Понятно, что они по закону Ампера будут взаимодействовать между собой, а именно притягиваться. Из курса физики известно, что сила взаимного притяжения единицы длины двух проводников с электрическими токами, текущими в одном направлении, прямо пропорциональна произведению сил этих токов и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками.

Притяжение двух электрических проводников обусловлено силами Лоренца. Электроны, движущиеся внутри каждого проводника, находятся под действием магнитного поля, создаваемого электрическим током в соседнем проводнике. На них действует сила Лоренца, направленная по прямой, соединяющей центры проводников. Но для возникновения силы взаимного притяжения наличие проводников совершенно необязательно - достаточно самих токов. Например, две покоящиеся частицы, имеющие одинаковый электрический заряд, отталкиваются одна от другой согласно закону Кулона, но эти же частицы, движущиеся в одном направлении, притягиваются, причём до тех пор, пока силы притяжения и отталкивания не уравновесят друг друга. Нетрудно видеть, что расстояние между частицами в положении равновесия зависит только от их скорости.

Из-за взаимного притяжения электрических токов заряженные частицы устремляются к центру грозового облака, по дороге взаимодействуя с электрически нейтральными молекулами и также перемещая их к центру грозового облака. Площадь поперечного сечения восходящего потока уменьшится в насколько раз, а поскольку поток вращается, то по закону сохранения момента количества движения его угловая скорость возрастёт. С восходящим потоком произойдёт то же самое, что с фигуристкой, которая, вращаясь на льду с расставленными руками, прижимает их к телу, отчего скорость её вращения резко увеличивается (хрестоматийный пример из учебников физики, который мы можем наблюдать по телевизору!). Такое резкое увеличение скорости вращения воздуха в смерче с одновременным уменьшением его диаметра приведёт соответственно к увеличению линейной скорости ветра, которая, как упоминалось выше, может даже превысить скорость звука.

Именно наличие грозового облака, электрическое поле которого разделяет заряженные частицы по знаку, приводит к тому, что скорости воздушных потоков в смерче превосходят скорости воздушных потоков в тайфуне. Образно говоря, грозовое облако служит своего рода «электрической линзой», в фокусе которой концентрируется энергия восходящего потока влажного воздуха, что и приводит к возникновению смерча.

МАЛЫЕ ВИХРИ

Существуют также и вихри, механизм образования которых никак не связан с вращением диполь-ной молекулы воды в магнитном поле. Наиболее распространённые среди них - пыльные вихри. Они образуются в пустынных, степных и горных местностях. По своим размерам они уступают классическим смерчам, их высота составляет порядка 100-150 метров, а диаметр - несколько метров. Для образования пыльных вихрей необходимым условием является пустынная, хорошо нагретая равнина. Образовавшись, такой вихрь существует довольно недолго, 10-20 минут, всё это время перемещаясь под действием ветра. Несмотря на то что воздух пустынь практически не содержит влаги, вращательное движение его обеспечивается взаимодействием элементарных зарядов с магнитным полем Земли. Над равниной, сильно прогретой солнцем, возникает мощный восходящий поток воздуха, часть молекул которого под воздействием солнечного излучения и особенно его ультрафиолетовой части, ионизируется. Фотоны солнечного излучения выбивают из внешних электронных оболочек атомов воздуха электроны, образуя при этом пары положительных ионов и свободных электронов. Вследствие того что электроны и положительные ионы имеют существенно разные массы при равных по величине зарядах, их вклад в создание момента количества движения вихря различен и направление вращения пыльного вихря определяется направлением вращения положительных ионов. Такой вращающийся столб сухого воздуха при своём движении поднимает с поверхности пустыни пыль, песок и мелкие камешки, которые сами по себе не играют никакой роли в механизме формирования пыльного вихря, но служат своеобразным индикатором вращения воздуха.

В литературе описаны ещё и воздушные вихри, довольно редкое природное явление. Они возникают в жаркое время дня на берегах рек или озёр. Время жизни таких вихрей невелико, они появляются неожиданно и так же внезапно исчезают. По-видимому, вклад в их создание вносят как молекулы воды, так и ионы, образующиеся в тёплом и влажном воздухе за счёт солнечного излучения.

Гораздо опаснее водяные вихри, механизм образования которых аналогичен. Сохранилось описание: «В июле 1949 года в штате Вашингтон в тёплый солнечный день при безоблачном небе на поверхности озера возник высокий столб из водяных брызг. Он существовал всего несколько минут, но обладал значительной подъёмной силой. Надвинувшись на берег реки, он поднял довольно тяжёлый моторный бот длиной около четырёх метров, перенёс его на несколько десятков метров и, ударив о землю, разбил на куски. Водяные вихри наиболее распространены там, где поверхность воды сильно нагревается солнцем, - в тропических и субтропических зонах».

Закручивание потоков воздуха может происходить при больших пожарах. В литературе описаны такие случаи, приведём один из них. «Ещё в 1840 году в США расчищали лес под поля. На большой поляне было свалено громадное количество хвороста, веток и деревьев. Их подожгли. Через некоторое время пламя отдельных костров стянулось вместе, образовав огненную колонну, внизу широкую, вверху заострившуюся, высотой 50 - 60 метров. Ещё выше огонь сменялся дымом, уходившим высоко в небо. Огненно-дымовой вихрь вращался с поразительной скоростью. Величественное и ужасающее зрелище сопровождалось громким шумом, напоминавшим раскаты грома. Сила вихря была настолько велика, что он поднимал в воздух и отбрасывал в сторону большие деревья».

Рассмотрим процесс образования огненного смерча. При горении древесины выделяется тепло, которое частично переходит в кинетическую энергию восходящего потока нагретого воздуха. Однако при горении происходит ещё один процесс - ионизация воздуха и продуктов сгорания

топлива. И хотя в целом нагретый воздух и продукты сгорания топлива электрически нейтральны, в пламени образуются положительно заряженные ионы и свободные электроны. Движение ионизованного воздуха в магнитном поле Земли неизбежно приведёт к образованию огненного смерча.

Хочется отметить, что вихревое движение воздуха возникает не только при больших пожарах. В своей книге «Смерчи» Д. В. Наливкин задаёт вопросы: «Мы уже не раз говорили о загадках, связанных с маломерными вихрями, пытались понять, почему все вихри вертятся? Возникают и другие вопросы. Почему, когда горит солома, нагретый воздух поднимается не по прямой линии, а по спирали и начинает кружиться. Так же ведёт себя в пустыне горячий воздух. Почему он не идёт просто вверх без всякой пыли? То же происходит с водяной пылью и брызгами, когда горячий воздух проносится над поверхностью воды».

Существуют вихри, возникающие в процессе извержения вулканов, их, например, наблюдали над Везувием. В литературе они получили название пепловых вихрей - в вихревом движении участвуют облака пепла, извергаемые вулканом. Механизм образования таких вихрей в общих чертах аналогичен механизму образования огненных смерчей.

Посмотрим теперь, какие силы действуют на тайфуны в неспокойной атмосфере нашей Земли.

СИЛА КОРИОЛИСА

На тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта, например, на поверхности вращающегося диска или шара, действует инерционная сила, называемая силой Кориолиса. Эта сила определяется векторным произведением (нумерация формул начинается в первой части статьи)

F K =2M[VΩ ], (20)

где М - масса тела; V - вектор скорости тела; Ω - вектор угловой скорости вращения системы отсчёта, в случае земного шара - угловой скорости вращения Земли, а [VΩ ] - их векторное произведение, которое в скалярном виде выглядит так:

F л = 2M | V | | Ω | sin α, где α - угол между векторами.

Скорость тела, двигающегося на поверхности земного шара, можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, касательной к шару в точке нахождения тела, иными словами - горизонтальная составляющая скорости: вторая, вертикальная составляющая перпендикулярна этой плоскости. Сила Кориолиса, действующая на тело, пропорциональна синусу географической широты его местонахождения. На тело, движущееся по меридиану в любом направлении в Северном полушарии, действует сила Кориолиса, направленная вправо по движению. Именно эта сила заставляет подмывать правые берега рек Северного полушария, вне зависимости от того, на север или на юг они текут. В Южном полушарии эта же сила направлена влево по движению и реки, текущие в меридиональном направлении, подмывают левые берега. В географии это явление называется законом Бэра. Когда русло реки не совпадает с меридиональным направлением, сила Кориолиса будет меньше на величину косинуса угла между направлением течения реки и меридианом.

Практически во всех исследованиях, посвящённых вопросам образования тайфунов, смерчей, циклонов и всевозможных вихрей, а также их дальнейшему перемещению, указывается на то, что именно сила Кориолиса служит первопричиной их возникновения и именно она задаёт траекторию их передвижения по поверхности Земли. Однако если бы сила Кориолиса участвовала в создании смерчей, тайфунов и циклонов, то в Северном полушарии они имели бы правое вращение - по часовой стрелке, а в Южном - левое, то есть против. Но тайфуны, смерчи и циклоны Северного полушария вращаются влево, против часовой стрелки, а Южного полушария - вправо, по часовой стрелке. Это абсолютно не соответствует направлению воздействия силы Кориолиса, более того - прямо ей противоположно. Как уже говорилось, величина силы Кориолиса пропорциональна синусу географической широты и, значит, максимальна на полюсах и отсутствует на экваторе. Следовательно, если бы она вносила вклад в создание вихрей разных масштабов, то наиболее часто они появлялись бы в полярных широтах, что полностью противоречит имеющимся данным.

Таким образом, приведённый анализ убедительно доказывает, что сила Кориолиса не имеет никакого отношения к процессу формирования тайфунов, смерчей, циклонов и всевозможных вихрей, механизмы образования которых рассмотрены в предыдущих главах.

Считается, что именно сила Кориолиса определяет их траектории, тем более что в Северном полушарии тайфуны, как метеорологические образования, при своём движении отклоняются именно вправо, а в Южном - именно влево, что соответствует направлению действия силы Кориолиса в этих полушариях. Казалось бы, причина отклонения траекторий тайфунов найдена - это сила Кориолиса, но не будем торопиться с выводами. Как говорилось выше, при движении тайфуна по поверхности Земли на него, как на единый объект, будет действовать сила Кориолиса, равная:

F к = 2MVΩ sin θ cos α, (21)

где θ - географическая широта тайфуна; α - угол между вектором скорости тайфуна, как единого целого, и меридианом.

Для выяснения истинной причины отклонения траекторий тайфунов попробуем определить величину силы Кориолиса, действующей на тайфун, и сравнить её с другой, как мы сейчас убедимся, более реальной силой.

СИЛА МАГНУСА

На тайфун, перемещаемый пассатом, будет действовать сила, которую в данном контексте, насколько это известно автору, до сих пор не рассматривал ни один исследователь. Это сила взаимодействия тайфуна, как единого объекта, с воздушным потоком, который перемещает этот тайфун. Если посмотреть на рисунок с изображением траекторий тайфунов, станет видно, что они движутся с востока на запад под действием постоянно дующих тропических ветров, пассатов, которые образуются вследствие вращения земного шара. При этом пассат не только переносит тайфун с востока на запад. Самое главное - на тайфун, находящийся в пассате, действует сила, обусловленная взаимодействием воздушных потоков самого тайфуна с воздушным потоком пассата.

Эффект возникновения поперечной силы, действующей на тело, вращающееся в набегающем на него потоке жидкости или газа, был открыт немецким учёным Г. Магнусом в 1852 году. Он проявляется в том, что если вращающийся круговой цилиндр обтекает безвихревой (ламинарный) поток, перпендикулярный его оси, то в той части цилиндра, где линейная скорость его поверхности противоположна скорости набегающего потока, возникает область повышенного давления. А на противоположной стороне, там, где направление линейной скорости поверхности совпадает со скоростью набегающего потока, - область пониженного давления. Разность давлений на противоположных сторонах цилиндра и приводит к возникновению силы Магнуса.

Изобретатели предпринимали попытки использовать силу Магнуса. Был спроектирован, запатентован и построен корабль, на котором вместо парусов установили вертикальные цилиндры, вращаемые двигателями. Эффективность таких вращающихся цилиндрических «парусов» в некоторых случаях даже превосходила эффективность парусов обычных. Эффект Магнуса используют также футболисты, которые знают, что если при ударе по мячу придать ему вращательное движение, то траектория его полёта станет криволинейной. Таким ударом, который называется «сухой лист», можно послать мяч в ворота противника практически с угла футбольного поля, находящегося на одной линии с воротами. Мяч при ударе закручивают и волейболисты, теннисисты, и игроки в пинг-понг. Во всех случаях движение закрученного мяча по сложной траектории создает немало проблем противнику.

Однако вернёмся к тайфуну, перемещаемому пассатом.

Пассаты, устойчивые воздушные течения (дуют постоянно больше десяти месяцев в году) в тропических широтах океанов, охватывают в Северном полушарии 11 процентов их площади, а в Южном - до 20 процентов. Основное направление пассатов - с востока на запад, однако на высоте 1-2 километра их дополняют ветры меридионального направления, дующие к экватору. В результате в Северном полушарии пассаты движутся на юго-запад, а в Южном

На северо-запад. Пассаты стали известны европейцам после первой экспедиции Колумба (1492-1493), когда её участники были поражены устойчивостью сильных северо-восточных ветров, уносивших каравеллы от берегов Испании через тропические районы Атлантики.

Гигантскую массу тайфуна можно рассматривать как цилиндр, вращающийся в воздушном потоке пассата. Как уже говорилось, в Южном полушарии они вращаются по часовой стрелке, а в Северном - против. Поэтому за счёт взаимодействия с мощным потоком пассатного ветра тайфуны и в Северном и в Южном полушарии отклоняются в сторону от экватора - на север и на юг соответственно. Этот характер их движения хорошо подтверждают наблюдения метеорологов.

(Окончание следует.)

ЗАКОН АМПЕРА

В 1920 году французский физик Анре Мари Ампер экспериментально обнаружил новое явление - взаимодействие двух проводников с током. Оказалось, что два параллельных проводника притягиваются или отталкиваются в зависимости от направления тока в них. Проводники стремятся сблизиться, если токи текут в одном направлении (параллельны), и удалиться один от другого, если токи текут в противоположных направлениях (антипараллельны). Ампер сумел правильно объяснить это явление: происходит взаимодействие магнитных полей токов, которое определяется по «правилу буравчика». Если буравчик ввинчивать по направлению тока I, движение его рукоятки укажет направление силовых линий магнитного поля H.

Две заряженные частицы, летящие параллельно, тоже образуют электрический ток. Поэтому их траектории будут сходиться или расходиться в зависимости от знака заряда частиц и направления их движения.

Взаимодействие проводников приходится учитывать при конструировании сильноточных электрических катушек (соленоидов) - параллельные токи, текущие по их виткам, создают большие силы, сжимающие катушку. Известны случаи, когда громоотвод, сделанный из трубки, после удара молнии превращался в цилиндрик: его сжимают магнитные поля тока разряда молнии силой в сотни килоампер.

На основе закона Ампера установлен эталон единицы силы тока в СИ - ампер (А). Государственный стандарт «Единицы физических величин» даёт определение:

«Ампер равен силе тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 . 10 -7 Н».

Подробности для любознательных

СИЛЫ МАГНУСА И КОРИОЛИСА

Сравним действие сил Магнуса и Кориолиса на тайфун, представив его в первом приближении в виде вращающегося воздушного цилиндра, обтекаемого пассатом. На такой цилиндр действует сила Магнуса, равная:

F м = DρHV n V m / 2, (22)

где D - диаметр тайфуна; ρ - плотность воздуха пассата; H- его высота; V n >- скорость воздуха в пассате; V т - линейная скорость воздуха в тайфуне. Путём несложных преобразований получим

Fм = R 2 HρωV n , - (23)

где R - радиус тайфуна; ω - угловая скорость вращения тайфуна.

Принимая в первом приближении, что плотность воздуха пассата равна плотности воздуха в тайфуне, получим

М т = R 2 Hρ, - (24)

где M т - масса тайфуна.

Тогда (19) можно записать в виде

F м = M т ωV п - (25)

или F м = M т V п V т /R. (26)

Разделив выражение для силы Магнуса на выражение (17) для силы Кориолиса, получим

F м /F к = M т V п V т /2RМV п Ω sinθ cosα (27)

или F м /F к = V т /2RΩ sinθ cosα (28)

Принимая во внимание, что согласно международной классификации тайфуном считается тропический циклон, скорость ветра в котором превышает 34 м/с, примем в расчётах эту наименьшую цифру. Поскольку географическая широта, максимально благоприятная для образования тайфунов, составляет 16 о, примем θ = 16 о и, поскольку сразу же после образования тайфуны движутся практически по широтным траекториям, примем α = 80 о. Радиус тайфуна средних размеров примем 150 километров. Подставив все данные в формулу, получим

F м /F к = 205. (29)

Иными словами, сила Магнуса превышает силу Кориолиса в двести раз! Таким образом, ясно, что сила Кориолиса не имеет отношения не только к процессу создания тайфуна, но и к изменению его траектории.

На тайфун, находяшийся в пассате, будут действовать две силы - вышеупомянутая сила Магнуса и сила аэродинамического давления пассата на тайфун, которую можно найти из простого уравнения

F д = KRHρV 2 п, - (30)

где К - коэффициент аэродинамического сопротивления тайфуна.

Нетрудно видеть, что движение тайфуна будет обусловлено действием результирующей силы, являющейся суммой сил Магнуса и аэродинамического давления, которая будет действовать под углом р к направлению движения воздуха в пассате. Тангенс этого угла найдётся из уравнения

tgβ = F m /F д. (31)

Подставив в (31) выражения (26) и (30), после несложных преобразований получим

tgβ = V т /КV п, (32)

Понятно, что результирующая сила F р, действующая на тайфун, будет касательной к его траектории, и если известны направление и скорость пассатного ветра, то можно будет с достаточной точностью вычислить эту силу для конкретного тайфуна, определив, таким образом, его дальнейшую траекторию, что позволит минимизировать ущерб, наносимый им. Траектория тайфуна может быть спрогнозирована пошаговым методом, при этом вероятное направление результирующей силы должно вычисляться в каждой точке его траектории.

В векторном виде выражение (25) выглядит так:

F м = M[ωV п ] . (33)

Нетрудно видеть, что формула, описывающая силу Магнуса, структурно идентична с формулой силы Лоренца:

F л = q .

Сопоставляя и анализируя эти формулы, замечаем, что структурное сходство формул достаточно глубоко. Так, левые части обоих векторных произведений (Мω и qV ) характеризуют параметры объектов (тайфуна и элементарной частицы), а правые части (V п и B ) - среды (скорость пассата и индукцию магнитного поля).

Физпрактикум

СИЛЫ КОРИОЛИСА НА ПРОИГРЫВАТЕЛЕ

Во вращающейся системе координат, например на поверхности земного шара, законы Ньютона не выполняются - такая система координат неинерциальна. В ней появляется добавочная сила инерции, которая зависит от линейной скорости тела и угловой скорости системы. Она перпендикулярна траектории движения тела (и его скорости) и называется силой Кориолиса, по имени французского механика Густава Гаспара Кориолиса (1792-1843), который эту добавочную силу объяснил и рассчитал. Сила направлена так, что для совмещения с вектором скорости её нужно повернуть на прямой угол в сторону вращения системы.

Увидеть, как «работает» сила Кориолиса, можно при помощи электрического проигрывателя для пластинок, поставив два несложных опыта. Для их проведения вырежьте из плотной бумаги или картона кружок и положите его на диск. Он будет служить вращающейся системой координат. Сразу сделаем замечание: диск проигрывателя вращается по часовой стрелке, а Земля - против. Поэтому силы на нашей модели будут направлены в сторону, противоположную наблюдаемым на Земле в нашем полушарии.

1. Сложите рядом с проигрывателем две стопки книг, чуть выше его диска. На книги положите линейку или прямую планку так, чтобы один её край приходился на диаметр диска. Если при неподвижном диске провести вдоль планки линию мягким карандашом, от его центра к краю, то она, естественно, будет прямой. Если же теперь запустить проигрыватель и провести карандаш вдоль планки, он начертит криволинейную траекторию, уходящую влево, - в полном согласии с законом, рассчитанным Г. Кориолисом.

2. Постройте из стопок книг горку и приклейте к ней скотчем жёлоб из плотной бумаги, ориентированный по диаметру диска. Если скатить небольшой шарик по жёлобу на неподвижный диск, он покатится по диаметру. А на вращающемся диске он станет уходить влево (если, конечно, трение при его качении будет невелико).

Физпрактикум

ЭФФЕКТ МАГНУСА НА СТОЛЕ И В ВОЗДУХЕ

1. Склейте из плотной бумаги небольшой цилиндр. Недалеко от края стола поставьте стопку книг и соедините её с краем стола дощечкой. Когда бумажный цилиндрик скатится с получившейся горки, мы вправе ожидать, что он станет двигаться по параболе прочь от стола. Однако вместо этого цилиндрик круто изогнёт траекторию в другую сторону и залетит под стол!

Его парадоксальное поведение вполне объяснимо, если вспомнить закон Бернулли: внутреннее давление в потоке газа или жидкости становится тем меньше, чем выше скорость потока. Именно на основе этого явления работает, например, пульверизатор: более высокое атмосферное давление выжимает жидкость в поток воздуха с пониженным давлением.

Интересно, что закону Бернулли в какой-то степени подчиняются и людские потоки. В метро, у входа на эскалатор, где движение затруднено, люди собираются в плотную, сильно сжатую толпу. А на быстро идущем эскалаторе они стоят свободно - «внутреннее давление» в потоке пассажиров падает.

Когда цилиндрик падает, продолжая вращаться, скорость его правой стороны вычитается из скорости набегающего потока воздуха, а скорость левой - складывается с ней. Относительная скорость потока воздуха слева от цилиндра больше, а давление в нём ниже, чем справа. Разность давлений и заставляет цилидрик круто изменять траекторию и залетать под стол.

Законы Кориолиса и Магнуса учитывают при запуске ракет, точной стрельбе на дальние расстояния, расчёте турбин, гироскопов и пр.

2. Обмотайте бумажный цилиндрик бумажной или текстильной лентой в несколько оборотов. Если теперь резко дёрнуть за конец ленты, она раскрутит цилиндрик и одновременно придаст ему поступательное движение. В результате под действием сил Магнуса цилиндрик полетит, описывая в воздухе мёртвые петли.

Анимация

Описание

Эффект Магнуса - возникновение подъемной силы, действующей на тело, вращающееся в набегающем на него потоке жидкости или газа.

Вращающийся твердый цилиндр образует в неограниченной массе вязкой жидкости или газа вихревое движение (рис. 1a) с интенсивностью:

J=2S w ,

где S - площадь цилиндра;

w - угловая скорость вращения цилиндра.

Схема эффекта Магнуса

Рис. 1

1 - пограничный слой

Движущийся поступательно (невращающийся) с относительной скоростью V 0 цилиндр обтекается ламинарным потоком, являющимся невихревым (рис. 1b).

Если цилиндр вращается и одновременно движется поступательно, то два окружающих его потока наложатся друг на друга и создадут результирующий поток обтекания (рис. 1c).

При вращении цилиндра приходит в движение и жидкость. Движение в пограничном слое вихревое; оно слагается из потенциального движения, на которое накладывается вращение. Сверху цилиндра направление потока совпадает с направлением вращения цилиндра, а снизу - противоположно ему. Частицы в пограничном слое сверху цилиндра ускоряются потоком, что препятствует отрыву пограничного слоя. Снизу поток тормозит движение в пограничном слое, что способствует его отрыву. Отрывающиеся части пограничного слоя уносятся потоком в виде вихрей. Вследствие этого вокруг цилиндра возникает циркуляция скорости в том же направлении, в каком вращается цилиндр. Согласно закону Бернулли давление жидкости на верхнюю часть цилиндра будет меньше, чем на нижнюю. Это приводит к возникновению вертикальной силы, называемой подъемной силой. При изменении направления вращения цилиндра на противоположное, подъемная сила также меняет направление на противоположное.

В эффекте Магнуса сила F под перпендикулярна скорости потока V 0 . Чтобы найти направление этой силы нужно вектор относительно скорости V 0 повернуть на 90° в сторону, противоположную вращению цилиндра.

Эффект Магнуса можно наблюдать на опыте со скатывающимся по наклонной плоскости легким цилиндром (рис. 2).

Схема скатывающегося цилиндра

Рис. 2

После скатывания по наклонной плоскости центр масс цилиндра движется не по параболе, как двигалась бы материальная точка, а по кривой, уходящей под наклонную плоскость.

Если заменить вращающийся цилиндр вихрем (вращающимся столбом жидкости) с интенсивностью J=2S w , то сила Магнуса будет такой же. Таким образом, на движущийся вихрь со стороны окружающей жидкости действует сила, перпендикулярная к относительной скорости движения V 0 и направленная в сторону, определяемую указанным выше правилом поворота вектора.

В эффекте Магнуса взаимосвязаны: направление и скорость потока, направление и угловая скорость, направление и возникающая сила. Соответственно можно измерять и использовать силу или измерять поток и угловую скорость.

Зависимость результата от воздействия имеет следующий вид (формула Жуковского-Кутта):

F R = J r V 0 ,

где J - интенсивность движения вокруг цилиндра;

r - плотность жидкости;

V 0 - относительная скорость потока.

Ограничения на проявления физического эффекта: обеспечение ламинарного течения жидкости (газа) над объектом при подъемной силе, направленной вверх.

Физический эффект проявляется на телах вращения.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -3 до -1);

Время существования (log tc от -1 до 9);

Время деградации (log td от -3 до -1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 6).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Тело вращается на оси, подшипники которой снабжены датчиками радиальной нагрузки для измерения возникающей подъемной силы (рис. 3).

Вращающееся тело вращения в набегающем потоке текучей среды

Рис. 3

Обозначения:

1 - вращающееся тело;

2 - набегающий поток;

w - частота вращения;

V - скорость частиц в потоке;

F - сила Магнуса.

Меняя скорость потока и частоту вращения, можно убедиться в справедливости основной формулы из содержательной части.

Применение эффекта

Физический эффект применяется в гидроаэромеханике, в технологических процессах разделения веществ на фракции и т.д.

Эффект Магнуса используется для разделения неоднородных жидких сред на легкую и тяжелую фракции. Неоднородную жидкую среду, например дрожжевую суспензию, подвергают воздействию центробежного и гравитационного полей, например в тарельчатом сепараторе. В процессе этого воздействия поток разделяемой среды пропускают, например под напором насоса, через сепаратор, имеющий распределительную решетку в виде ряда параллельных трущихся слоев с различными последовательно возрастающими при переходе от одного слоя к другому скоростями.

Различие между скоростью движения соседних слоев создает относительную угловую скорость более 5000 рад/с. В результате частицы высокой фракции приводятся во вращательное движение. В результате скорость течения пограничного слоя жидкости, обтекающей частицу снизу, замедляется, а сверху - ускоряется. Разность скоростей вызывает разность сил давления, т.е. гидродинамическую подъемную силу, действующую на частицы в поперечном направлении снизу (со стороны приторможенных слоев жидкости) вверх к области повышения скоростей.

Литература

1. Ультразвук / Под ред. И.П. Голяминой.- М.: Советская Энциклопедия, 1979.

2.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

3.Акустополяризационные измерения характеристик анизотропии горных пород (методические рекомендации). Апатиты, 1985.

Ключевые слова

• вихрь
• циркуляция
• обтекание
• цилиндр
• вращение
• угловая скорость
• подъемная сила

Разделы естественных наук: