Упорядоченные множества

Определение 1. Множество M называется упорядоченным , если между его элементами установлено некоторое отношение a b ("a предшествует b "), обладающее следующими свойствами: 1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b , a b, b a; 2) для любых трех элементов a , b и c из a b, b c следует a c.

Пустое множество считается упорядоченным.

Замечание. Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись a = b просто означает, что буквами a и b обозначен один и тот же элемент множества M . Поэтому из свойства 1) следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a b или b a.

Если a предшествует b , то говорят, что b следует за a и пишут: b > a .

Отношение a > b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение a b.

Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения, т. е. вместо a b писать a > b , и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M" , порядок которого называется обратным относительно порядка M . Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок:

Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества

Кабиров Николай Николаевич,студент второго курса факультета физики, математики, информатики Таганрогского института имени А.П.Чеховафилиала) ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университетРИНХ)», г.Таганрог[email protected]

Ляхова Наталья Евгеньевна,кандидат физикоматематических наук, заведующий кафедрой математикиТаганрогского института имени А.П.Чехова филиала) ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет РИНХ)», г.Таганрог[email protected]

Стабильные порядки на мультипликативной полугруппенатуральных чисел

Аннотация.Статьяпосвящена описанию всевозможных способов заданияпорядка наполугруппе натуральных чисел по умножению или сложению, обладающих свойством стабильности.Ключевые слова: отношение порядка, универсальная алгебра натуральных чисел, стабильное отношение.

В даннойработе рассматриваются алгебраические системы, в которых основным множеством является множество натуральных чисел, операциями являются сложение и умножение, а отношением является отношение порядка, которое связано с операциямисвойством стабильности. Возникает естественная задача описать все возможные способы задания порядка в универсальнойалгебре натуральных чисел по умножению или сложению, которые обладали бы свойством стабильности. Известными примерами указанных отношений порядка являются отношения сравнения чисел по величине и отношение делимости. Оказывается,они не единственные, имеется бесконечное множество таких порядков. Вработе в явном виде указываются все стабильные порядки в мультипликативной и аддитивной полугруппах натуральных чисел.В качестве примера таких порядков приводятся порядки, порожденные множеством взаимно простых пар.

1. Основные определения

Под бинарным отношением на множестве понимаетсяподмножество декартового произведения. Если, где, то будем писать и говорить, “что находится в отношении с ”.Важным типом бинарных отношений являются отношения частичной упорядоченности, т.е.бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Множество с заданной в нем частичной упорядоченностью называется частично упорядоченным. Для записи упорядоченности обычно употребляется символ; если и, то, в зависимости от обстоятельств, говорится, что меньше или равно, содержится в, предшествует b.Пусть в множестве задана частичная упорядоченность. Элементы и этого множества будут называться сравнимыми, если или. Далеко не всякие два элемента из обязаны быть сравнимыми –именно по этой причине можно говоритьо ”частичной” упорядоченности. Так получается тривиальная частичнаяупорядоченность множества, если положить, что лишь при то есть различные элементы из будут несравнимыми.Частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется упорядоченным множеством или линейно упорядоченным множеством или цепью.В различных разделах математики упорядоченные и частично упорядоченные множества встречаются чрезвычайно часто. В качестве примеровупорядоченных множеств можно указать множество натуральных чисел и множество действительных чисел, оба в их естественной упорядоченности. Примерами частично но не линейно) упорядоченных множеств служатследующие множества:–множество

всех подмножеств некоторого данного множества с отношением теоретикомножественного включения вкачестве отношения частичной упорядоченности;–множество всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке, если означает, что для всех;–множество всех натуральных чисел, если понимать в том смысле, что делится нацело на.Частичным порядком на полугруппе называется частичный порядок, удовлетворяющий условию стабильности

Полугруппа, в которой определенстабильный относительно операции частичный порядок, называется упорядоченной полугруппой. Очевидно, всякую полугруппу можно считать упорядоченной относительно тривиального порядка. В качестве примеров частичных стабильных порядков можно привести уже указанные выше порядки наполугруппе и на полугруппе.Как следует из определений,порядок есть бинарное отношение, т.е. множество пар. Отсюда возникает метод описания всех частичных порядков наполугруппе. Будем называть порядок порожденным некоторым множеством пар, если он является минимальным порядком, содержащим это множество пар. Если удастся найти общий вид порядка, порожденного произвольным множествопар, то это и будет решение поставленной задачи. Ясно, что не для каждого множества пар существует порядок, порожденный.Очевидно множество не может породить порядок.

2. Порядки наN,·, порожденные конечным множеством пар

Легко видеть, что каждую пару натуральных чисел можно представить в виде, где n–натуральное число, а q–положительная дробь. Например,пару можно записать. Пусть

произвольное конечное подмножество декартова квадрата. Тогда согласно вышесказанному можно представить в виде:

Определение. Множество пар будем называть антисимметричным если для любого набора чисел из множества

Одновременно не равных нулю, .Ясно, что определение является обобщением известного понятия антисимметричности.

Определение.Пусть

антисимметричное множество пар. Всякое натуральное число, для которого существует две такие последовательности, где и, где такие что,

Где первое число пары из множества, назовем числом, а числа

числами множества.

Теорема1. Если

конечное антисимметричное множество пар, то бинарное отношение, такое, что тогда и только тогда, когда или является числом, а является числом множества, есть порядок, порожденный этим множеством.

Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо показать, что, вопервых, отношение порядка, а, вовторых,

совпадает с порядком, порожденным множеством.

Докажем первую часть теоремы, т.е. докажем, что

рефлексивно, транзитивно, антисимметрично и стабильно относительно умножения.1) Рефлексивность следует из определения отношения.2) Пусть

и. Из условия имеем,

А из условия имеем,

Таким образом, для можно указать две последовательности

и, такие, что,

Т.е. -число, а -число множества. Следовательно. Случаи, когда или являются очевидными. Транзитивность доказана.3) Пусть и.Из условия следует,что.Из условия следует, что.Выше доказана транзитивность, следовательно,

и при этом.Так как все, эти равенстваможно записать в виде

Из последнего равенства следует, что. Но это возможно лишь при, так как множество антисимметрично. Учитывая, что и, получаем. Следовательно. Антисимметричность доказана.4) Стабильность относительно умножения,очевидно,следует из стабильности отношения равенства, которое используется для определения и чисел множества.Докажем вторую часть теоремы. Обозначим через порядок порожденныймножеством. Необходимо показать, что.Пусть произвольная пара из, тогда, т.к. существует последовательности и, такие что,т.е. число, а

число множества. Следовательно является порядком, содержащим множество, но

минимальный порядок, содержащий, значит.

Пусть, т.е. является числом, а -числом множества. Это значит, что

, . (3)Покажем, что пара.Так как,то.Поэтому, согласно 1) . ()Учитывая,что

Получим.Значит, согласно 2), . ()Из ) и ) будет следовать, что.И так далее,продолжая этот процесс, получим.Или, учитывая 3), т.е. .Таким образом,показали, что.

Теорема доказана.

Теорема2. Для того, чтобы конечное множество пар было порождающим множествомнекоторого порядка необходимо и достаточно, чтобы оно являлось антисимметричным.

Доказательство.Если множество пар является антисимметричным, то по теореме 1оно будет порождающим множеством порядка.Покажемобратное. Пусть множество пар

порождает порядок. Покажем, чтооно является антисимметричным. Доказательство проведем от противного. Допустим, что не является антисимметричным, т.е. существует набор чисел

из множества, одновременно не равных нулю, такой что.Легко видеть, что если пара принадлежит некоторому отношению порядка, то ему должны принадлежать пары, а,значит,и пара. Аналогично,любая пара будет принадлежатьэтому порядку.На основании этого замечания, пары

принадлежат порядку. Тогда.

Если некоторый порядок содержит пары, то он содержит и пары, .Следовательно, он содержит пару Применяя этот факт к порядку, можно записать.Следовательно,

Получили, что порядок одновременно содержит пары

и.А это противоречит тому, что является отношением порядка.Полученное противоречие доказывает теорему.

3. Порядки, порожденные множеством взаимно простых пар

В некоторых случаях, в зависимости от выбора порождающего множества, конструкция порядка, рассмотренного в предыдущем параграфе,значительно упрощаетсяи становится более наглядной. Рассмотрим один из таких случаев.

Определение.Множество пар таких,что, где,называется множеством взаимно простых пар.

Теорема3.Пусть дано некоторое множество взаимно простых пар.Обозначим, где. Тогда и представляются в виде,.Бинарное отношение

Где является частичным порядком.

Доказательство.Для доказательства теоремы нужно показать рефлексивность, транзитивность, антисимметричность и стабильность указанного бинарного отношения. 1. Условие выполнено, т.к.существуют, такие,что. Рефлексивность доказана.2. Пусть. Из условия следует, что,аиз условия следует, что,тогда

Для определенности будем полагать, что все и все. Тогда можно записать, что.Отсюда

Выражая и, получим,.Подставляя значения

и в исходные равенства, находим, что,.Следовательно,

и транзитивность доказана. В случае, когда некоторые

пользуемся тем, что, и доказательство будет аналогичным.3. Пусть и. Покажем, что. Изусловия следует, что,.Из условия следует, что,.Замкнем эти пары транзитивно, получим, и по доказанному выше.Но так как,.Следовательно,и антисимметричность доказана.4. Стабильность очевидна. Теорема доказана.

Теорема4. Для того, чтобы порядок был порожден множеством взаимно простых пар необходимо и достаточно, чтобы он был порядком, описанным в теореме 3.

Доказательство. Обозначим порядок, порожденный множеством взаимно простых пар.Нужно доказать, что.

1. -минимальный

2. Пусть, тогда

Покажем, что эта пара принадлежит. Для этого достаточно показать, что из того что

следует, что

принадлежит, следовательно,.Из этого следует, что.Таким образом, включение выполняется для. Пусть включение выполняется для, т.е. .Тогда.Так как, то.Следовательно, т.е. данное включение выполняется и пары принадлежат.Отсюда,азначит и.Таким образом, доказано, что.

Итак, получено и, следовательно,

и теорема доказана.

Легко видеть, что порядок, порожденный произвольной парой,является частным случаем порядка, порожденного множеством взаимно простых пар.

4. Стабильные порядки на аддитивной полугруппе натуральных чисел, их связь с порядками на мультипликативной полугруппе натуральных чисел.

Рассмотрим порядкина полугруппе натуральных чисел по сложению.

Произвольную пару натуральных чисел можно представить в виде либо, либо, либо, где. Рассмотрим произвольное множество пар, представимых в виде

и расположим их в порядке возрастания. Такое множество обозначим, т.е. ,

Теорема5. Для того, чтобы порядок был порожден множеством пар необходимо и достаточно, чтобы он был бинарным отношением

Доказательство. Докажем, что бинарное отношение является отношением порядка. Для этого нужно показать четыре свойства.1.Рефлексивнсть следует из определения.2.Докажем транзитивность. Пусть и.Из условия следует,что

Из условия следует,что,

Из этих равенствполучаем

Т.е. и транзитивность доказана.3.Антисимметричность. Пусть

и. Тогда имеют место равенства, (1) . (2)Подставим 1) в 2) и получим.А это значит, что.Но

и, следовательно,. Тогда, т.е. .Таким образом,

антисимметрично.4. Стабильность очевидна.

Следовательно,

Отношение порядка. Осталось показать, что является для порождающим множеством.

Обозначим

порядок, порожденный множеством пар. Докажем, что совпадает с.1. Произвольная пара из множества принадлежит. В то же время, согласно определению

можно записать,

Т.е. .Следовательно,и произвольная пара из будет содержаться в, т.к. в содержаться все пары порождающего множества порядка.Получили, что.2. Покажем обратное. Пусть, т.е.,

Нужно показать, что.Учитывая записанные равенства, проделаем следующие рассуждения.

Из того, что,следует, что.Тогда,пары принадлежат. Отсюда.Изтого, что, следуетчто, то есть.Проделывая рассуждения аналогичные предыдущим, получим.Продолжая этот процесс, мы придем к следующему результату:, т.е. , а значит, .

Получаем, что, следовательно,.

Теорема доказана.Аналогично теорему можно доказать для множества пар, двойственного множеству.

Теорема6. Для того, чтобы множество пар порождало порядок на аддитивной полугруппе натуральных чиселнеобходимо и достаточно, чтобы оно являлось множеством или двойственным емумножеством.

Доказательство. 1. Если множество имеет один из указанных видов, то по теореме 5онопорождает порядок.

2.Пусть порождает порядок. Покажем, что оно является

множеством или двойственным ему. Доказательство проведем методом отпротивного. Пусть множество содержит пары,. Тогда эти пары принадлежат и порожденному порядку.,

Следовательно

С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, получаем.Итак, содержит одновременно пары

И,аэто противоречит тому, что порядок. Следовательно в не может бытьодновременно пар и, т.е. является множеством или двойственным ему.

Теорема доказана.

Легко видеть, что порядки стабильные на аддитивной полугруппе натуральных чисел, являются стабильными и на мультипликативной полугруппе натуральных чисел. Действительно, пусть

стабильный порядокна.Изусловия следуют равенства,

Тогда, умножив обе части каждого равенства на произвольное натуральное числои сделав простые преобразования, получим,

Следовательно, .

Таким образом, множество всех стабильных порядков на аддитивной полугруппе натуральных чисел содержится в множестве всех стабильных порядков на мультипликативной полугруппе натуральных чисел. Возникает вопрос о порождающем множестве этих порядков в полугруппе

Рассмотрим, например,порядокна, порожденный парой. Это будет обычный порядок. Заметим, что кроме него и двойственному ему порядка

Других линейных порядков на

нет. Минимальным порождающим множествомпорядка в

будет множество пар.Это следует из того, что любая пара, содержащаяся в порядке, может быть получена изпаруказанного множества, и,в то же время,ни одна из этих пар не может быть получена из других с помощью транзитивного или стабильного замыкания. Таким образом,на порядок

имеет бесконечное порождающее множество. Нетрудно заметить, что все порядки на, порожденные конечным множеством пар, имеют на

бесконечные порождающие множества.

5. Порядки, порожденные бесконечным множеством пар

Теорема7.Бесконечное множество пар

порождает порядок

на некоторой алгебре

тогда и только тогда, когда любое его конечное подмножество

порождает некоторый порядок

на этой алгебре. При этом определяется следующим образом:

тогда и только тогда, когда существует конечное, такое что.

Доказательство. Пусть порождает порядок. Выберем произвольное конечное подмножество

множества. Тогда минимальный подпорядок

Покажем обратное. Пустьпроизвольноеконечное подмножество

множества

порождает порядок. Рассмотрим отношение, такое что.1. , т.к. . Следовательно рефлексивно.2. Пусть

и.Тогда,такое что

и, такое что.Рассмотрим. Тогда можно записать, что

и. Получаем. Из этого следует. Таким образом, транзитивно.3. Пусть и. Тогда, такое что и, такое что.Но существует, что, и получаем. Следовательно антисимметрично.4.Пусть тогда, такое что. Следовательно, откуда.Т.е. стабильно.

Итак, удовлетворяет свойствам рефлексивности, транзитивности, антисимметричности и стабильности. Значит,

отношение порядка.Докажем, что есть порядок, порожденный бесконечным множеством. Обозначим

порядок, порожденный. Нужно показать, что.1. Произвольная пара содержится в, т.к. , что, Следовательно, . Но минимальный порядок, содержащий, следовательно.

2. Пусть–произвольная пара из, следовательно,что, т.е.

пара содержится в минимальном порядке, порожденном, но, откуда,и,следовательно,. Значит, .

Получили два включенияи, следовательно, т.е. множество является для порождающим.

Таким образом, доказано, что если каждое конечное подмножество бесконечного множества порождает порядок, то и само бесконечное также порождает порядок, который является указанным порядком.

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекают следствия.

Определение. Бесконечное множество пар натуральных чисел называется антисимметричным, если любое его конечное подмножество является антисимметричным.

порождало порядок

на мультипликативной полугруппе натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно было антсимметричным.

тогда и только тогда, когда существует конечное множество такое что,где

–порядок, порожденный антисимметричным множеством, который был описан в пункте 2.

Определение. Бесконечное множество пар натуральных чисел называется–множеством, если любое его конечное подмножество является–множеством.

Следствие. Для того, чтобы бесконечное множество пар

порождало порядок

на аддитивной полугруппе натуральных чисел необходимо и достаточно, чтобы оно являлось –множеством или двойственным ему –множеством. При этом тогда и только тогда, когда существует конечное множество такое что, где порядок, порожденный множеством, описанный в пункте 4.

М.: Наука, 1970, 393 c.2.Ляпин,Е.С. Упорядоченности в полугруппе преобразований/Е.С. Ляпин //Труды четвертого Всесоюзного математического съезда.Ленинград: Наука.1964.Т.2.С.1314.3.Кривенко, В.М.Соотношения предшествования, определяющие стабильные порядки на мультипликативной полугруппе натуральных чисел/В.М.Кривенко, Н.Е. Ляхова //XIXВсесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы сообщений. –Институт прикладных проблем механики и математики АН УССР –Львов, 1987, Ч.1.С.148.

Действительные (вещественные ) числа хорошо известны из школьного курса математики. Кратко остановимся на их свойствах, достаточно легко воспринимаемых каждым из нас. Действительные числа образуют множество элементов, обладающих следующими свойствами.

Свойство упорядоченности

Для любых двух чисел %%a%% и %%b%% определено соотношение порядка, т.е. два любых действительных числа %%a%% и %%b%% удовлетворяют одному из следующих соотношений: %%a < b, a = b%% или %%a > b%%; при этом если %%a < b%% и %%b < c%%, то %%a < c%%.

Свойства операции сложения

суммой и обозначаемое %%a + b%%, что выполняются следующие свойства.

1. Коммутативность : %%a + b = b + a %%.
2. Ассоциативность : %%a + (b + c) = (a + b) + c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
3. нулем и обозначаемое %%0%% , что %%a + 0 = a%% для любого числа %%a%%.
4. Для любого числа %%a%% существует такое число, называемое противоположным %%a%% и обозначаемое %%-a%%, что %%a + (-a) = 0%%.
5. Если %%a < b%%, то %%a + c < b + c%% для любого числа %%c%%. Нуль единственен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% число %%a + (-b) %% называют разностью чисел %%a%% и %%b%% и обозначают %%a - b%%.

Свойства операции умножения

Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% определено такое единственное число, называемое их произведением и обозначаемое %%ab%% (или %%a \cdot b%%), что выполняются следующие свойства.

1. Коммутативность : %%ab = ba%%.
2. Ассоциативность : %%a(bc) = (ab)c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое %%1%%, что %%a \cdot 1 = a%% для любого числа %%a%%.
4. Для любого числа %%a%%, не равного нулю, существует такое число, называемое обратным к данному и обозначаемое %%1 / a%%, что %%a \cdot (1 / a) = 1%%.
5. Если либо %%a%%, либо %%b%%, либо и %%a%% и %%b%% равны нулю, то %%ab = 0%%.
6. Если %%a < b%% и %%c > 0%%, то %%ac < bc%%. Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел %%a%% и %%b (b \neq 0)%% число %%a \cdot (1/b)%% называют частным от деления %%a%% на %%b%% и обозначают %%a/b%%.

Свойство дистрибутивности

Для любой тройки чисел %%a, b%% и %%c%% выполняется равенство %%(a + b)c = ac + bc%%.

Архимедово свойство

Каково бы ни было число %%a%%, существует такое целое число %%n \in \mathbb{N}%%, что %%n > a%%.

Рис. 1. Числовая прямая

Прежде чем сформулировать следующее свойство действительных чисел, напомним, что на прямой задана система отсчета , если на этой прямой фиксированы две различные точки (точки %%O%% и %%e%% на рис. 1). Левую из них (точку %%O%%) называют началом отсчета, а длина отрезка %%Oe%% задает единицу масштаба. Прямую с заданной системой отсчета называют координатной осью . Ее обычно обозначают %%Ox%%. Точка %%O%% делит координатную ось на две части: положительную полуось, где лежит точка %%e%%, и отрицательную полуось.

Координатой точки %%M%% на оси %%Ox%% называют длину отрезка %%OM%%, взятую со знаком %%+%%, если точка %%M%% лежит на положительной полуоси, и со знаком %%-%%, если точка %%M%% лежит на отрицательной полуоси.

Очевидно, что каждой точке %%M%% на оси %%Ox%% соответствует действительное число %%x%%, а именно, ее координата. И обратно, каждому действительному числу на оси %%Ox%% соответствует точка, для которой это действительное число является ее координатой. Всякий раз, когда это потребуется, будем считать, что между действительными числами и точками некоторой прямой установлено такого рода соответствие, причем %%e = 1%%, %%O = 0%%.

Таким образом, совокупность всех действительных чисел можно рассматривать как числовую прямую . Иногда вместо числовой прямой используют также термин «вещественная прямая». Отождествление действительных чисел с точками на числовой прямой будет в дальнейшем чрезвычайно полезным, так как служит вспомогательным средством для понимания и мотивацией введения новых понятий.

Подмножество %%X%% множества действительных чисел называют промежутком , если вместе с любыми двумя числами %%x_1, x_2%% это подмножество содержит любое %%x%%, заключенное между ними. Используют промежутки следующих видов:

• %%(a, b) = \{x: a < x < b\}%% - интервал , или открытый промежуток ;
• %% = \{x: a \leq x \leq b\}%% - отрезок , или замкнутый промежуток (иногда используют термин «сегмент»);
• %%(a, b] = \{x: a < x \leq b\}%% и %% \supseteq %%, то отрезок %%%% называют вложенным в отрезок %%%%.

  Свойство непрерывности

  Для всякой системы вложенных отрезков $$ \supseteq \supseteq \supseteq \ldots \supseteq \supseteq \ldots $$ существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Это свойство называют также принципом вложенных отрезков (принципом Кантора).

  Из перечисленных свойств действительных чисел можно получить, что 1 > 0, а также правила действий с рациональными дробями; правила знаков при умножении и делении действительных чисел; правила преобразования равенств и неравенств; свойства абсолютного значения действительного числа.

  Абсолютное значение

  Абсолютным значением (или модулем ) %%|a|%% любого действительного числа %%a%% называют действительное число, удовлетворяющее условиям: $$ |a| = \begin{cases} a, \text{ если } a \geq 0 \\ -a, \text{ если } a < 0 \end{cases} ~~~~~~~~~~(1) $$

  Отсюда следует, что абсолютное значение любого действительного числа неотрицательно %%(|a| \geq 0)%%, а также $$ \begin{array}{l} |a| = |-a|, \\ |a| \geq a, \\ |a| \geq -a, \\ -|a| \leq a \leq |a|. \end{array}~~~~~~~~~~(2) $$

  Геометрически %%|a|%% соответствует расстоянию между точками числовой прямой, изображающими числа %%0%% и %%a%%.

  Пусть справедливо неравенство %%|a| < \varepsilon%%, где %%\varepsilon%% - некоторое положительное число (%%\varepsilon > 0%%) . Тогда это неравенство равносильно двойному неравенству $$ -\varepsilon < a < \varepsilon. $$ Равносильность рассмотренных неравенств будет сохранена, если строгие неравенства (%%<%%) заменить на нестрогие (%%\leq%%): %%|a| \leq \varepsilon%% равносильно %%-\varepsilon \leq a \leq \varepsilon%%.

  Для любых действительных чисел %%a%% и %%b%% справедливо равенство $$ |ab| = |a||b| ~~~~~~~~~~(3) $$ и выполняются неравенства: $$ \begin{array}{lr} |a + b| \leq |a| + |b| &~~~~~~~~~~(4),\\ |a - b| \geq \big||a| - |b|\big|&~~~~~~~~~~(5). \end{array} $$

  При помощи (1) и (2) докажем неравенство (4): если %%a + b \geq 0%%, то $$ |a + b| = a + b \leq |a| + |b| $$ а если %%a + b < 0%%, то $$ |a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) < |a| + |b| $$

  Приведенные выше свойства полностью описывают множество всех действительных чисел.

  Множество всех действительных чисел, а также множество точек числовой прямой обычно обозначают %%\mathbb R%%.

  Пополненное множество действительных чисел

  Пополненным (или расширенным ) множеством действительных чисел называют множество, образованное из всех действительных чисел %%x \in \mathbb R%% с добавлением двух элементов, обозначаемых %%+\infty%% («плюс бесконечность») и %%-\infty%% («минус бесконечность»). При этом полагают, что %%-\infty < +\infty%% и для всех чисел %%x \in \mathbb R%% справедливо %%-\infty < x < +\infty%%. Пополненное множество обозначают %%\overline{\mathbb R}%%. Ему соответствует расширенная (или пополненная ) числовая прямая. Элементы %%-\infty%% и %%+\infty%% называют бесконечными точками такой прямой.

  Подмножества множества %%\mathbb R%% действительных чисел

  1. Множество целых чисел $$ \mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} $$ есть собственное подмножество множества %%\mathbb R%% (%%\mathbb Z \subset \mathbb R%%).
  2. Множество натуральных чисел $$ \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots \} $$ является собственным подмножеством как множества %%\mathbb Z %%, так и множества %%\mathbb R%% %%(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb R)%%.

  Множество всех действительных чисел, которые представимы в виде частного от деления целого числа %%m \in \mathbb Z%% на натуральное %%n \in \mathbb N%%, называют множеством рациональных чисел и обозначают %%\mathbb Q%%, т.е. $$ \mathbb Q = \left\{\frac{m}{n}: m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\right\} $$

  Отношения %%\frac{m}{n}%% и %%\frac{m"}{n"}%% считают равными (представляющими одно и то же рациональное число %%r \in \mathbb Q%%), если %%mn" = nm"%%. Таким образом, у каждого рационального числа %%r = \frac{m}{n}%% может быть бесконечно много изображений %%r = \frac{p m}{p n}, p \in \mathbb N%%.

  Очевидно, что %%\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R%%.

  Бесконечные промежутки

  На пополненной числовой прямой различают бесконечные интервалы $$ (b, +\infty) = \{x: x > b\}, (-\infty, a) = \{x: x < a\} $$ и бесконечные полуинтервалы $$ = \{x: x \leq a\} $$ По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой R обозначают часто %%(-\infty, +\infty)%% или просто %%(-\infty, \infty)%%.

  

  Рис. 2. Окресность точки

  Любой интервал %%(a, b)%%, содержащий некоторую точку %%x_0%% называют окрестностью этой точки и обозначают %%\text{U}(x_0)%%, т.е. %%\text{U}(x_0) = (a, b)%%, если %%x_0 \in (a, b)%%. Точку %%x_0%%, расположенную в середине своей окрестности %%(a, b)%%, в этом случае именуют центром окрестности , а расстояние %%\varepsilon = \frac{(b - a)}{2}%% - радиусом окрестности. Тогда множество %%\{x: |x - x_0| < \varepsilon\}%% называют %%\varepsilon%%-окрестностъю точки %%x_0%% и обозначают %%\text{U}(x_0, \varepsilon)%% или %%\text{U}_\varepsilon(x_0)%% (рис. 2).

  На расширенной числовой прямой вводят понятие окрестности и для бесконечных точек %%+\infty%% и %%-\infty%%, тем самым уравнивая эти точки с конечными при рассмотрении многих вопросов. Пусть %%M%% - некоторое положительное число. Тогда %%\text{U}(+\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x > M\}%% и %%\text{U}(-\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x < -M\}%%, а для объединения бесконечных точек %%\text{U}(\infty) = \{x \in \mathbb{R}: |x| > M\}%%. Ясно, что для любой из бесконечных точек окрестность с меньшим значением %%M%% включает окрестность с большим значением %%M%%.

  Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиома­тической теории требуют, чтобы это отношение было не только опре­делено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

  Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

  При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

  Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.

  Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вы­текает, что если

  а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

  Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.

  Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

  Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сло­жения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

  Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисиммет­ричности отношения «меньше».

  Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

  Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

  Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.

  Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

  Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.

  Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натураль­ное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

  Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

  Теорема 16.

  а = b => а + с = b + с и а с = b с;

  а < b => а + с < b + с и ас < bс;

  а > b => а + с > b + с и ас > bс.

  Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

  2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b.
  Тогда b + с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с + к) = (а + с) + к. Равенство b + с = (а + с) + к означает, что а + с < b + с.

  Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.

  3) Доказывается аналогично.

  Теорема 17 (обратная теореме 16).

  1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь

  2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:

  3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.

  Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

  Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

  Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует та­кое натуральное число n, что п b> а.

  Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравен­ства п > а и b > 1, получаем пb > а.

  Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

  1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
  дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

  2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
  наименьшее число.

  3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
  и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не­
  равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

  Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержа­щееся в данном множестве М, - число 10.

  Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества нату­ральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

  С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел млад­шие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется оп­ределение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

  Упражнения

  1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

  Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

  3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:

  а) а < b Þ ас < bс;

  б) а + с < b + сÞ > а < Ь.

  4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
  использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:

  а) 27 + 8 ... 27 + 18;

  б) 27- 8 ... 27 -18.

  5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

  А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

  Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).

  В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

  Вычитание

  При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

  Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.

  Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.

  Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

  Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

  Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

  Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

  Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

  Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

  Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.

  а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.

  б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).

  в) Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул.
  Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х . Если (а + b) - с = у. то, по определению разности, а + b = с + у . Подставим в это равенство вместо а выражение с + х : (с + х) + b = с + у. Воспользу­емся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у . Преоб­разуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:

  х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b

  Аналогично проводится доказательство и в случае б).

  Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.

  Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.

  Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

  Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за другим.

  В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над одно­значными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычита­ние связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычис­лениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуж­дают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».

  Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных прие­мов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;

  а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

  б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.

  Упражнения

  1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

  2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

  3. Докажите, что:

  а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );

  б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.

  4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

  а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),

  б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
  в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

  а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

  б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

  в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.

  5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:

  12 - 2-3 12 -5 = 7

  б) 16-7 = 16-6 - П;

  в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;

  г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

  6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

  7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.

  Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

  8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

  а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.

  Деление

  При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

  Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.

  Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.

  Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие суще­ствования частного.

  Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.

  Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, ум­ножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

  Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

  Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

  Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

  Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.

  Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что

  b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, полу­чаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.

  Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деле­ния суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

  Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.

  Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей теоремы.

  Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления раз­ности на число: для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

  Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.

  Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

  В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с ум­ножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.

  Упражнения

  1. Докажите, что:

  а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;

  б) если числа а и b делятся на с и а > b, то (а - b): с = а: с - b: с.
  2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
  а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

  в) 850:170 =850:10:17.

  Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

  3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
  выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

  можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

  а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

  б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;

  Верны ли равенства:

  а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

  в) (40 - 28): 4 = 10-7?

  4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
  вида:

  а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .

  Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.

  5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
  действия обоснуйте:

  а) (7× 63):7; в) (15× 18):(5× 6);

  б) (3× 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

  6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:

  а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

  б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

  в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

  г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

  7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
  способом частное; выбранный способ обоснуйте:

  а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

  6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.

  Лекция 34.Свойства множества целых неотрицательных чисел

  1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.

  2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.