Типовые математические модели. Процессы гибели и размножения Процессы гибели и размножения несколько типов частиц
5. Процессы размножения и гибели.
Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые тем не менее находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния E i допустимы только в соседние состояния E i- 1 , E i и E i+1 . Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии E i , если объем популяции равен i членам. При это переход из состояния E i в состояние E i +1 соответствует рождению, а переход из E i в E i-1 - гибели, предполагая, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели.
Дискретные процессы размножения и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния E i обратно в состояние E i представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена согласно определению (13).
В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями
Здесь d i - вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до i -1 при условии, что на данном шаге объем популяции равен i . Аналогично, b i - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до i +1; 1-d i -b i представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что d 0 =0, так как гибель не может наступить, если некому погибать.
Однако в противовес интуиции допускается, что b 0 >0, что соответствует возможности рождения, когда в популяции нет ни одного члена. Хотя это можно расценивать как спонтанное рождение или божественное творение, но в теории дискретных систем такая модель представляет собой вполне осмысленное допущение. А именно, модель такова: популяция представляет собой поток требований, находящихся в системе, гибель означает уход требования из системы, а рождение соответствует поступлению в систему нового требования. Ясно, что в такой модели вполне возможно поступление нового требования (рождение) в свободную систему. Матрица вероятностей переходов для общего процесса размножения и гибели имеет следующий вид:
Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде ; это соответствует тому, что не допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n .
Матрица T содержит нулевые члены только на главной и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей.
Далее будем рассматривать только непрерывные процессы размножения и гибели, в которых переходы из состояния E i возможны только в соседние состояния E i-1 (гибель) и E i+1 (рождение). Обозначим через l i интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i . Аналогично, через m i обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i . Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния E i , следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:
l i = q i , i +1 и m i = q i , i -1 .
Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из (14), q ii =-(m i + l i ). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид
Заметим, что за исключением главной и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на рис. 4.
Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E 0 , E 1 , E 2 , …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняют следующие условия:
1) Pr [точно 1 рождение в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;
2) Pr [точно 1 гибель в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;
3) Pr [точно 0 рождений в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;
4) Pr [точно 0 гибелей в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= .
Согласно этим предположениям кратные рождения, кратные гибели и одновременные рождения и гибели в течение малого промежутка времени (t , t + Δt ) запрещены в том смысле, что вероятность таких кратких событий имеет порядок о (Δt ).
Вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E i (объем популяции равен i ) определяется напрямую из (16) в виде
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности P i (t ), i =0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей P i (0), i =0,1,2,…, при t =0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.
Рис.4. Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели.
Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого m i = 0 при всех i . Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что l i =l для всех i =0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (18) получим
Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:
Отсюда для P 0 (t ) получаем решение
P 0 (t )=e - l t .
Подставляя это решение в уравнение (19) при i = 1, приходим к уравнению
.
Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид
P 1 (t )= l te - l t .
.
Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью l приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский процесс.
Наибольший интерес в практическом плане представляют вероятности состояний процесса размножения и гибели в установившемся режиме. Предполагая, что процесс обладает эргодическим свойством, т.е. существуют пределы перейдем к определению предельных вероятностей P i .
Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (18), учитывая, что dP i (t )/dt = 0 при :
Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия
Систему уравнений (21) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рис.4, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние E i в установившемся режиме, то:
интенсивность потока вероятностей в и
интенсивность потока вероятностей из .
В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем
Но это как раз и есть первое равенство в системе (21). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E 0 , второй - состояние E 0 и E 1 , и т.д., включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i -го контура (окружающего состояния E 0 , E 1 , ..., E i -1 ) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:
.
Полученная система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу.
Решение системы (23) можно найти методом математической индукции.
При i =1 имеем:
при i =2:
при i =3:
и т.д.
Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (23) имеет вид
или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице
Таким образом, все вероятности P i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P 0 . Равенство (22) дает дополнительное условие, позволяющее определить P 0 . Тогда, суммируя по всем i , для P 0 получим:
Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей P i . Для того, чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P 0 > 0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Определим следующие две суммы:
Все состояния E i рассматриваемого процесса размножения и гибели будут эргодическими тогда и только тогда, когда S 1 < и S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются только тогда, когда, начиная с некоторого i , все члены последовательности {} ограничены единицей, т.е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С <1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:
Введение 3
Теоретическая часть 4
Практическая часть 9
Заключение 13
Собственые мысли. 13
Список литературы 14
Введение
В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»
Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.
Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.
В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.
Теоретическая часть
В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,
то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.
В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей - так называемая «схема гибели и размножения».
Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 2 , ..., S n-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S 1 , S n) - только с одним соседним состоянием.
Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.
Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:
S 0 - все три узла исправны;
S 1 - один узел отказал (восстанавливается), два исправны;
S 2 - Два узла восстанавливаются, один исправен;
S 3 - все три узла восстанавливаются.
Граф состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».
Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.
Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3
Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S 1 имеем:
Для второго состояния S 2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:
Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:
Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:
где k принимает все значения от 2 до n.
Итак, предельные вероятности состояний р ъ р 2 > ..., р п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:
(1.4)
и нормировочному условию:
Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р 2:
из второго, с учетом (1.6), получим
(1.7)
из третьего, с учетом (1.7):
Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.
Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S k ; в знаменателе - произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S k . При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе - у всех стрелок, идущих справа налево.
Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:
Остальные вероятности выражаются через
(1.10)
Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.
Практическая часть
Процессы Маркова, в частности гибели и размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно в произвольный момент времени, когда наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе - его гибелью.
Естественное размножение пчелиных семей - роение - с точки зрения протекающих в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать как вероятностный процесс, когда семья в определенный момент времени может перейти из рабочего состояния в роевое. В зависимости от различных факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических и климатических, оно может закончиться роением или возвратом семьи в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять теорию однородных процессов Маркова.
Интенсивность перехода пчелиной семьи в роевое состояние - размножение - в значительной мере определяется темпами накопления молодых бездеятельных пчел. Интенсивность обратного перехода - «гибели» - возвращением семьи в рабочее состояние, которая, в свою очередь, зависит собственно от роения, отбора расплода и пчел (формирование отводков), количества собираемого нектара и т.д.
Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).
Моделирование отбора из семьи части пчел (увеличения их «гибели») показало, что вероятность возникновения рабочего состояния логарифмически возрастает, а вероятность роения логарифмически сокращается. При противороевом приеме - отборе из семьи 5–7 тыс. пчел (две-три стандартные рамки) - вероятность роения составит 0,05, а вероятность рабочего состояния - 0,8; отбор более трех рамок с пчелами снижает вероятность роения на очень малую величину.
Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.
Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в то или иное состояние.
Меем следующий граф, представляющий
собой процесс гибели и размножения.
Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.
Имея интенсивности перехода в то или иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.
Используя формулы, приведенные в теоретической части находим:
Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.
Заключение
Подведем итог.
В данной работе была приведена теоретическая справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.
Было показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.
Собственые мысли.
На мой взгляд марковские процессы гибели и размножения безусловно полезны в различных сферах деятельности человека, но у них есть ряд недостатков, в частности система из любого своего состояния непосредственно может перейти только в соседнее с нею состояние. Данный процесс не отличается особой сложностью и сфера его применения немного узко-специализирована, но, тем не менее, данный процесс может использоваться в сложных моделях в качестве одного из компонента новой модели, например при моделировании документооборота в компании, задействовании станков в цеху и так далее.
Реферат >> БиологияПоловое и бесполое размножение . При бесполом размножении новый организм возникает из... . Если несколько сперматозоидов – гибель клетки. Ядро сперматозоида набухает, ... . Пол будущего организма определяется в процессе онтогенеза. У человека имеет место...
Процессы горения и взрыва
Книга >> ХимияГорения с прикладными науками о безопасности технологических процессов и строительных объектов. Книга предназначена в качестве... при пожаре, пожарная безопасность технологических процессов , производственная и пожарная автоматика, прогнозирование опасных...
Решение задач по теории вероятности
Реферат >> МатематикаГлаве рассматриваются: определение случайного процесса и его характеристики, понятие... узлов очевидна. Пример 7.6 Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). ... нормированную корреляционную функции случайного процесса . Построить граф состояний...
Биология (8)
Реферат >> БиологияКлеток материнского организма в процессе размножения . Локализация в ядрах клеток, участвующих в размножении , генов и хромосом, ... выживанию одних и гибели других особей. 4. Естественный отбор - процесс сохранения и размножения особей с наследственными...
Введение
В данной работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей - так называемая "схема гибели и размножения"
Процесс размножения и гибели - это случайный процесс со счётным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном или непрерывном времени. Он состоит в том, что некоторая система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, причём переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе - гибелью этого объекта.
Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.
Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов, происходящих в физике, биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности при моделировании гибели и размножения особей различных популяций.
В данной работе будет поставлена задача, целью которой является определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели. Будут приведены примеры вычислений среднего числа заявок в системе в стационарном режиме и сделаны оценки для различных случаев процессов размножения и гибели.
Процессы размножения и гибели
Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые, тем не менее, находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния E i допустимы только в соседние состояния E i-1 , E i и E i+1 . Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии E i , если объем популяции равен i членам. При этом переход из состояния E i в состояние E i+1 соответствует рождению, а переход из E i в E i-1 - гибели, предполагается, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели .
Дискретные процессы размножения и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния E i обратно в состояние E i представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена и определяется следующим образом:
В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями
Здесь d i - вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до при условии, что на данном шаге объем популяции равен i. Аналогично, b i - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до; представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что, так как гибель не может наступить, если некому погибать .
Однако в противовес интуиции допускается, что, что соответствует возможности рождения, когда в популяции нет ни одного члена. Хотя это можно расценивать как спонтанное рождение или божественное творение, но в теории дискретных систем такая модель представляет собой вполне осмысленное допущение. А именно, модель такова: популяция представляет собой поток требований, находящихся в системе, гибель означает уход требования из системы, а рождение соответствует поступлению в систему нового требования. Ясно, что в такой модели вполне возможно поступление нового требования (рождение) в свободную систему. Матрица вероятностей переходов для общего процесса размножения и гибели имеет следующий вид:
Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде ; это соответствует тому, что не допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n. Матрица T содержит нулевые члены только на главной диагонали и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей . Далее будем рассматривать только непрерывные процессы размножения и гибели, в которых переходы из состояния E i возможны только в соседние состояния E i-1 (гибель) и E i+1 (рождение). Обозначим через i интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i. Аналогично, через i обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i. Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния E i , следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:
i = q i,i+1 и i = q i,i-1 .
Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из того, что
получим q ii =-(i + i). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид:
Заметим, что за исключением главной диагонали и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на соответствующем рисунке (2.1) :
Рисунок 2.1 - Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели
Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E 0 , E 1 , E 2 , …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняются следующие условия:
(точно 1 рождение в промежутке времени (t,t+Дt), объем популяции равен i) ;
(точно 1 гибель в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i);
= (точно 0 рождений в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i);
= (точно 0 гибелей в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i).
Таким образом, ?t с точностью до есть вероятность рождения новой особи в популяции из n особей, а - вероятность гибели особи в этой популяции за время .
Вероятности перехода удовлетворяют обратным уравнения Колмогорова. Таким образом, вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E i (объем популяции равен i) определяется в виде (2.1):
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности P i (t), i=0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей P i (0), i=0,1,2,…, при t=0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.
Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого i = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что i = для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (2.1) получим (2.2):
Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:
Отсюда для P 0 (t) получаем решение:
Подставляя это решение в уравнение (2.2) при i = 1, приходим к уравнению:
Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид:
Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский поток .
Наибольший интерес в практическом плане представляют вероятности состояний процесса размножения и гибели в установившемся режиме. Предполагая, что процесс обладает эргодическим свойством, то есть существуют пределы
перейдем к определению предельных вероятностей P i . Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (2.1), учитывая, что dP i (t)/dt = 0 при:
Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия (2.4):
Систему уравнений (2.3) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рисунке 2.1, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние E i в установившемся режиме, то:
интенсивность потока вероятностей в и
интенсивность потока вероятностей из.
В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем:
Но это как раз и есть первое равенство в системе (2.3). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E 0 , второй - состояние E 0 и E 1 , и так далее, включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i-го контура (окружающего состояния E 0 , E 1 ,..., E i-1) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:
Равенство (2.5) можно сформулировать в виде правила: для простейшей системы размножения и гибели, находящейся в стационарном режиме, потоки вероятности между любыми двумя соседними состояниями равны.
Полученная система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу .
Решение системы (2.5) можно найти методом математической индукции.
При i=1 имеем
Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (2.5) имеет вид:
или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице:
Таким образом, все вероятности P i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P 0 . Равенство (2.4) дает дополнительное условие, позволяющее определить P 0 . Тогда, суммируя по всем i, для P 0 получим (2.7) :
Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей P i . Для того чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P 0 >0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Если растут слишком быстро по сравнению с, то может оказаться, что с положительной вероятностью в конечный момент времени t процесс уйдёт из фазового пространства {0,1,…} в "бесконечно удаленную точку?" (особей в популяции станет слишком много). Другими словами процесс станет не регулярным, и тогда равенство (2.4) будет нарушено. Определим следующие две суммы:
Для регулярности процесса размножения и гибели необходимо и достаточно, чтобы S 2 = .
Для существования его стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы S 1 < .
Для того чтобы все состояния E i рассматриваемого процесса размножения и гибели были эргодическими необходимо и достаточно сходимости ряда S 1 < , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:
Этому неравенству можно дать простое толкование: начиная с некоторого состояния E i и для всех последующих состояний интенсивность потока размножения, должна быть меньше интенсивности потока гибели .
Иногда в практике встречаются процессы "чистого" размножения. Процессом "чистого" размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивность всех потоков гибели равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке (2.2):
Рисунок 2.2 - Граф интенсивностей переходов для процесса "чистого" размножения
Аналогично вводится понятие "чистой" гибели. Процессом "чистой" гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке:
Рисунок 2.3 - Граф интенсивностей переходов для процесса "чистой" гибели
Система уравнения Колмогорова для таких процессов может быть получена из системы уравнений (2.1), в которой нужно положить все интенсивности потоков процессов гибели равными нулю: .
Один из важнейших случаев цепей Маркова известен под названием процесса гибели и размножения. Этот процесс может быть с дискретным или непрерывным временем, а определяющее его условие состоит в том, что допускаются переходы только в соседние состояния.
Рассмотрим процесс гибели и размножения с непрерывным временем. Такой процесс является моделью изменений в численности популяции.
Процесс находится в состоянии Ей, если объем (численность) популяции равен к; переход в состояние Ек соответствует гибели одного члена популяции, а переход в состояние Ек+ - рождению.
Этот процесс можно рассматривать как модель СМО, в которой Ек соответствует к заявок в системе, а переход в состояние Ек- или Ек+ - уходу заявки из системы или ее приходу.
Для процесса гибели и размножения с множеством состояний 0, 1,2, ... должны выполняться следующие условия:
Здесь P(+i; bt; к) - вероятность i рождений за время bt при условии, что численность популяции равна к ; P(-i; bt; к) - вероятность i гибелей при тех же условиях.
Согласно этим условиям кратные рождения, кратные гибели и одновременные рождения и гибели в течение малого промежутка времени запрещены в том смысле, что вероятность этих кратных событий имеет порядок малости о(6г). Это свойство вытекает из свойства экспоненциального распределения, как было показано ранее.
Найдем вероятность того, что объем популяции в некоторый момент времени равен к р(к, t) = P.
Рассмотрим изменение объема популяции в промежутке времени (t, t + 5/). В момент времени t + bt процесс будет находиться в состоянии Ек, если произошло одно из трех взаимно исключающих друг друга и образующих полную группу событий:
- 1) в момент времени t объем популяции равнялся А: и за время bt состояние не изменилось;
- 2) в момент времени t объем популяции равнялся к - 1 и за время bt родился один член популяции;
- 3) в момент времени t объем популяции равнялся к + 1 и за время bt погиб один член популяции.
Тогда вероятность того, что в момент времени t + bt процесс будет находиться в состоянии Ек, равна
Приведенное равенство имеет смысл только при к > О, поскольку популяция не может состоять из (-1) члена. Граничное равенство при к = О имеет вид:
Кроме того, должно выполняться условие нормировки
Выделяя в уравнениях (49.3) и (49.5) р(к) и деля на Ьк получим
Переходя к пределу при bt -> 0, имеем:
Таким образом, рассматриваемый вероятностный процесс описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Эти уравнения можно получить непосредственно на основе диаграммы состояний (рис. 49.2).
Рис. 49.2.
Состояние Ek обозначается овалом, в котором записывается число к. Переходы между состояниями обозначаются стрелками, на которых представлены интенсивности переходов.
Разность между интенсивностью, с которой система попадает в состояние Ek, и интенсивностью, с которой она покидает его, должна равняться интенсивности изменения потока в этом состоянии.
Интенсивность потока в состояние
Интенсивность потока из состояния ~
Разность между ними равна эффективной интенсивности потока вероятностей в состояние
Решение этой системы в общем виде невозможно. Модель даже простой системы является чрезвычайно сложной и трудно анализируемой. Если рассматривать СМО более сложного вида, то вычислительные трудности будут еще более высокими. Поэтому обычно рассматривают решения системы (49.3) - (49.4) в установившемся режиме при t -> оо, р"(к; t) -> 0,р(к, t) -> р{к) = const.
Процесс чистого размножения
Для этого процесса р*=О, А* = А = const. Его можно рассматривать как модель потока заявок, поступивших в СМО. Система уравнений для этого процесса имеет вид:
Пусть начальные условия следующие:
Тогда и при к= 1 получим: ехр
Решение этого уравнения естьр (; /) = А/ exp (-АД По индукции можно получить, что
Таким образом, вероятности распределены по закону Пуассона.
Процесс Пуассона занимает центральное место в исследованиях СМО. Это связано, во-первых, с его упрощающими аналитическими и вероятностными свойствами; во-вторых, он описывает многие реальные процессы, являющиеся следствием совокупного эффекта большого числа индивидуальных событий.
В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей λ ij , то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо λ ij , соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.
Рис. 29
В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей – так называемой «схемой гибели и размножения».
Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис.29, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 2 , ..., S n –1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S 1 , S n) – только с одним соседним состоянием.
Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:
S 0 – все три узла исправны;
S 1 – один узел отказал (восстанавливается), два исправны;
S 2 – два узла восстанавливаются, один исправен;
S 3 – все три узла восстанавливаются.
Граф состояний показан на рис.30. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».
Рис. 30
Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.
Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис.31
Рис. 31
Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S 1 имеем:
λ 12 p 1 = λ 21 p 2 (7.1)
Для второго состояния S 2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:
λ 23 p 2 + λ 21 p 2 = λ 32 p 3 + λ 12 p 1
Но, в силу (7.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и; получим:
λ 23 p 2 = λ 32 p 3
λ 34 p 3 = λ 43 p 4
. . . . . . . . .
Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:
λ k -1,k p k -1 = λ k,k -1 p k (7.2)
где k принимает все значения от 2 до n.
Итак, предельные вероятности состояний р 1 , р 2 , ..., р n в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:
λ 12 p 1 = λ 21 p 2
λ 23 p 2 = λ 32 p 3
λ 34 p 3 = λ 43 p 4
. . . . . . . . . . . (7.3)
λ k -1,k p k -1 = λ k,k -1 p k
. . . . . . . . . . .
λ n -1, n p n -1 = λ n , n -1 p n
и нормировочному условию:
р 1 + р 2 + ... + р n = l (7.4)
Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения (7.3) выразим р 2:
Из второго, с учетом (7.5), получим:
(7.6)
Из третьего, с учетом (7.6):
(7.7)
Эта формула справедлива для любого k от 2 до n .
Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) λ ij , стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk ; в знаменателе – произведение всех интенсивностей λ ij , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S k . При k =n в числителе будет стоять произведение интенсивностей λ ij , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок, идущих справа налево
Итак, все вероятности р 1 , р 2 , ..., р n выражены через одну из их: p 1. Подставим эти выражения в нормировочное условие: р 1 + р 2 + ... + р n = l Получим:
Остальные вероятности выражаются через p 1:
(7.9)
Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.
Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 32.
Рис. 32
Решение. По формулам (7.8) и (7.9) имеем:
Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно . Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно ; закон распределения этого времени показательный (поток восстановлений простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух – 50%, а при одном и менее – прибор вообще не работает.
Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность λ ij (см. рис. 33.).
Рис. 33.
Так как поток отказов каждого узла – простейший, то промежуток времени между отказами в этом потоке распределен по показательному закону с параметром , где –среднее время безотказной работы узла.
По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система находится в состоянии S 0 , то работают три узла; каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью ; значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более интенсивен: = 0,5 и
Средняя производительность прибора в установившемся режиме:
Номинала.
Происхождение термина «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается процесс изменения численности популяции
- Сырники из творога с яблоками
- Как правильно хранить хлеб: несколько полезных советов
- Сталинская высотка на площади восстания
- Жизнь после смерти в христианстве
- Нужно ли поститься перед исповедью, можно ли есть перед исповедью?
- Пигмалион читать онлайн краткое содержание
- Кант, Иммануил – краткая биография
- История представлений о сознании и основные концепции его понимания Платон сознание
- Что такое подлежащее и сказуемое?
- «Измени мышление — и ты изменишь свою жизнь» Б
- Заговоры и ритуалы на деньги в домашних условиях
- Штрафы гибдд: бухгалтерский и налоговый учет Бухгалтерия как закрывать в 1с штрафы гибдд
- Как консервировать кукурузу зернами и початками в банках в домашних условиях на зиму
- Скумбрия на сковороде, тушеная с морковью и луком Как потушить скумбрию с луком и морковью
- Звезда Руси: значение символа
- Значение оберега звезда руси
- Лазарева суббота - приметы и обычаи, что можно и что нельзя делать в Лазареву субботу?
- К чему снится карп. Что значит карп во сне. Приснился карп по Нострадамусу
- Сергей Мамедов, Член Совета Федерации Федерального Собрания РФ от Самарской области: биография, личная жизнь
- Как надо учить грамматику?